分类例析排序不等式的应用

【摘要】作为两个基础而重要的不等式，高等数学新课程增加入选修课程的的排序原理（或排序不等式和柯西不等式，以前是竞赛数学中的一个重要的不等式，形态优美、意思简单明了，体现了数学的对称美掌握和利用好排序不等式，对证明不等式，比较大小，求最值，以及解决一些应用题都很有帮助，并且富有技巧性，很容易理解和记忆，因此得到了十分广泛的应用。

【关键词】分类例析；排序不等式；高等数学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）32-0278-01

高中数学竞赛以及普通课表课程中设置的排序不等式，是选秀的内容，也是一个经典的不等式学习内容，其具有排序不等式的结构特征，形式对称，规律简单明了，便于记忆，采用数目、顺序、大小相同的两组明确数字，进行对应项乘积之和的大小关系的论证，能够很好地进行求最值、解应用题、证明和比较大小等计算，掌握排序不等式的要领，对于解决上述问题非常有利。

一、排序不等式概述

利用排序不等式进行问题的解答的时候，要将问题转化为两组数字，这两组数字在数目、顺序、大小等方面都具有相同的特征，能够证明对应项乘积之和，列举出大小关系。

对于排序不等式，一般学生是没有理解上的难度，但是应用起来却存在疑点和难点。通过分类例析的方法，对于题型的规律进行分析，利用排序不等式的学習内容辅助解题。

例如，已指条件中给予了大小关系的设定，为：a1，a2，a3…...an，另一列数字经过调整和比较，逐步递归为b1，b2，b3…...bn，采用排序不等式的方法，将问题加以转化，然后利用排序不等式的解体思路进行计算。

已知M={X/0

已知的条件中，学生能够对排序不等式的结构特征予以明确的理解，对于a和b数字进行去顶，借助排序不等式将问题进行解决：

a，b M，0

再例如，求函数的值的时候，运用排序不等式进行解题：

对于此问题函数的结构特征进行分析，需要确定（1-x）2的数值，运用排序不等式，确定两组数字的最值问题，借助排序不等式进行函数的计算，注意=的成立条件，设1-x≥x≥0，则（1-x）≥x2，得到的结论乱序和和同序和，根据排序不等式的计算方法，得到的结论是同序和≥乱序和。

二、排序不等式思路与方法

例：

已知条件a，b，c R，求证2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），需要证明两组数字：a，b，c；a2，b2，c2

采用排序不等式的方法进行计算，进行a，b，c的大小顺序的排序，得到了同序和和乱序和，最终得到结论：

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

与基本不等式和比较法证明不等式相比，排序不等式需要考虑的相同的两组数字的对应项乘积之和的大小关系，对于大小顺序要加以明确，通过使用排序不等式，学生们的思维能力得到了发散，培养了触类旁通的能力和求异思维。

三、利用排序不等式的难点

已知条件中，两组数字可能没有给定大小关系，因此，采用排序不等式进行问题的解决的时候，首先要对这两组数字进行大小关系的情境创设，使得问题适合使用排序不等式加以解决。

例：已知a1+a2+.......an=1，x1+x2+......xn=1，

求证：a1x1+......anxn≤1

本题采用柯西不等式、基本不等式进行求证均可，为了引导学生学习和理解以及应用排序不等式，对于排序不等式的结构特征加以深入理解，运用排序不等式进行两组数字的计算，在探究和计算的过程中，学生学会了排序不等式的方法和途径，体会到排序不等式的证题思路，运用排序不等式解决问题的方法等。理解了条件设定，排序不等式乱序和与同序和，论证对应项乘积和的大小关系。

例：已知条件为：n个正整数是互不相同的，a1，a2，a3......an，求证对应项乘积之和的大小关系。

由于a1......an是n个不相同的正整数，由于排序通过问题中的式子进行从小到大的论证，可以才想到a1-an的对应的另一列数字，由此联想到不等式采用排序进行证明，设置两组数字加以排列，满足b1

四、排序不等式的学习方法

对于难度较大的问题，学生不仅要掌握排序不等式的思路和步骤方法，更要掌握两组数字的排序结构特征以及运用排序不等式进行论证的技巧。学生进行排序不等式的解题思路的学习，可以引导他们进行思路的理解，问题的分析，寻求运用排序不等式进行两组数字确定的途径，并且通过合作交流的方法，进行数字的比较、递归、调整，围绕排序不等式的证明方法，将问题引申到适合运用排序不等式的轨道上。

排序不等式的方法旨在培养学生的创新能力，拓展学生的数学思维，掌握其的学生，解题的灵活性和敏捷性将更加提高。课堂学习上，师生共同探讨的方法有利于对典型习题的求解，更好地引导学生学习使用排序不等式解决问题。

五、结语

高等数学中排序不等式的学习，为了大大使得学生认知优化，思维得到拓展，通过解题训练，实效教学，能够帮助学生对排序不等式的证明方法和数学意义加深理解，实现高等数学的课程教学目标。

参考文献

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作者简介：王景（1981-）男，大学本科，四川盐亭县，一级教师，主要从事：高中数学教学。