利用简谐运动的对称性求解力学问题

张 涵

(辽宁省新宾县高级中学 113200)

1.如图1所示，两木块质量分别为m和M，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放在水平面上，将木块1压下一段距离后释放，它就上下振动．在振动过程中木块2恰好不离开地面.求：

(1)木块1的最大加速度?

(2)木块2对地面的最大压力?

解木块1在振动过程中木块2恰好不离开地面，即木块1在最高点时，木块2与地面接触且无挤压.

对物块2有：F弹=Mg，此时木块1处于简谐运动的最高点，此时木块1的加速度最大.

由简谐运动的对称性可知木块1在最低点时与最高点加速度大小相等，木块1在最低点时对木块1有：

FNmax=F弹′+Mg

FNmax=2(m+M)g.

此时木块2对地面的压力最大，对木块2有：

FNmax=F弹′+Mg

FNmax=2(m+M)g

由牛顿第三定律可知木块2对地面的最大压力

F压max=2(m+M)g.

2. 如图2所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m, 在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静止状态.

(1)突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大?

(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件?

解力F撤去后，A,B系统做简谐运动，初始位置为简谐运动的最低点，将力F撤去瞬间，对A,B系统由牛顿第二定律有：

由分析可知，当弹簧处于原长时，此为简谐运动的最高点时，那么施加的力F为A、B不分离的最大力，此时处于最高点时，A,B系统的F合=2mg,方向竖直向下.由简谐运动的对称性可知A、B共同运动到最低点时F合=2mg,方向竖直向上.力F撤去瞬间，对A,B系统F=F合=2mg，所以要使A、B不分离，F应满足F≤2mg.

(1)物块处于平衡位置时弹簧的长度；

(2)求弹簧的简谐运动的振幅和最大伸长量.

解(1)当物块处于平衡位置时有：

所以弹簧的长度为

所以其振幅

由于简谐运动具有对称性，故其最大伸长量为

参考文献：

[1]王后雄.教材完全解读[M]. 西安:陕西师范大学出版社，2017(08).