深入概念本质，提升思辨能力

吴文卿

【摘要】本文运用行动研究的研究方法，对于APOS理论应用于小学数学概念教学进行研究，探索其中的活动阶段，精心设计各层次的活动和环环相扣的问题链，丰富表象，有效增强学生的思辨、推理能力。

【关键词】APOS理论 概念本质 追问 推理 思辨

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）13-0136-02

美国数学教育学家杜宾斯基的APOS理论指出学习数学概念的过程要经历活动、过程、对象、图式等四个阶段。APOS理论当中的活动阶段相当于对概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段。这一阶段其实就是学生表象形成阶段，变换概念的非本质属性特征，突出本质属性，从而使概念的表征达到一个较高水平的概括。基于学生认知起点，如何在活动阶段层层推进，深挖概念的本质？如何引领学生主动探究，使学生在比较中，思维碰撞中，语言交流中深化对概念本质的理解，提升思辨能力？结合教学课例谈谈一些思考和见解。

一、追问中理清本质。

皮亚杰认为“智慧源自动作”，动手操作是学生学习数学的有效手段。为了形成“反省”，学生必须把自己的实践操作变成思考的对象，这是认知概念的必要条件和前提。如何在直观操作与抽象概括之间建立桥梁？

《轴对称图形》【教学回放】

怎样剪出一个轴对称图形呢？

1.教师边示范边引导学生观察。

教师对折一张纯色的折纸，思考：为什么要对折？

生：对折后剪出来的两边图形就能完全重合。

接着学生指导老师画一半图形。

师追问：为什么只画一半图形？

生：因为刚才对折，剪出来的两部分是同样的。

接着老师画图、剪、打开，举着图形问：是一个对称图形吗？怎样证明？

学生提出对折的方法，老师依言对折图形，指着问：对折后，这是图形的一半，另一半呢？（学生指出反过来。）

观察思考：对折后两边图形的大小怎样？形状怎样？图案怎样？

生：对折后两边图形无论是大小、还是形状、图案都是完全重合的。

2.PPT呈现样例，学生操作。

展示汇报，追问：为什么剪的是对称图形？

认知确定对折后完全重合才是轴对称图形，这是学生认知的难点，教学中要给予特别关注，操作的目的是通过折纸片、画图和剪纸片的过程，展现了形成一个轴对称图形的过程。引导学生在剪纸活动中认识轴对称图形，如果学生对轴对称图形的理解只停留在怎样剪，没有从概念的本质去认识，那么这节课更像手工课。“为什么要对折？”“为什么只画一半图形？”“为什么剪的是对称图形？”操作的目的是为了数学抽象，只有通过步步深入追问操作背后的原理，才能“褪去”一切无关的非本质属性，让操作回归到数学本质的内涵，才能让学生站在数学的高度去学习数学。

二、推理中扣问本质。

《标准（2011版）》指出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理能从深度和广度两方面解释隐藏在表面现象后面的客观规律和思想要素。在概念教学中，将各种直观模型和验证方法之间的联系加以沟通，引导学生体会概念的内在核心，同时把推理能力的培养有机融合其中，帮助学生形成研究论证数学问题的科学方法。

《小数的性质》【教学回放】

1.创设情境，引发冲突。导入：由金箍棒能变长变短引出在整数末尾添上“0”或去掉“0”，学生直观感受变化。在0.1米的末尾試着添上“0”时，金箍棒的长度却没有发生变化。

思考：为什么“0.1米=0.10米=0.100米”？

2.操作观察，初步感知

师：能不能用学过的知识来解决？

（1）学生自由选择材料操作验证。

①在米尺图找一找0.1米、0.10米、0.100米的实际长度，比一比；②在方格图上涂色表示这三个小数，比一比；③在数位顺序表填这三个小数，比一比。

（2）学生汇报

①米尺图组

生：在米尺图指着10cm的距离，这是1dm，也是10cm，也是100mm，对应的小数分别是0.1m、0.10m、0.100m，所以：0.1m=0.10m=0.100m

追问：结合0.1m、0.10m、0.100m的具体含义，说明它们是如何相等的？

结合学生汇报出示：

0.1m →■m 1dm=10cm

■m=1cm，0.10m 10个■m→10cm

■m=1mm，0.100m 100个■m→100mm=10cm

因为： 1dm=10cm=100mm

所以：0.1m=0.10m=0.100m

师：运用单位间换算把用米作单位的小数改写成较小单位的整数比较大小，也就是把小数转化为整数比较。

②方格图组

生：通过重合发现这三个小数表示的涂色部分是相等的，所以这三个小数是相等的。

追问：它们的意义相同吗？大小怎么就相等了呢？

③数位顺序表组

生：这三个小数个位都是0，1都在十分位上，而且0.10、0.100末尾的“0”都表示这个数位上什么也没有，所以这三个小数的大小相等。

追问：它们的意义不同，大小怎么就相等了呢？

结合方格图组和数位顺序表组的汇报，PPT出示

0.1→1个■

0.10→10个■→1个■

0.100→100个■→1个■

所以：0.1m=0.10m=0.100m

师：根据小数的意义推导出这3个小数是相等的。

小数意义的掌握是本节课知识的支撑点，小数的性质是对小数意义的进一步认识。通过前测可知，68%的学生尽管知道小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，但小数的形式发生变化后为什么大小不变？大部分学生未能说清楚。因此本课的难点是理解在小数部分什么位置添“0”去“0”，小数大小不变。在大问题“能不能用学过的知识来解决？”统领下，提供数学学习工具学生自由选择操作验证。学生都围绕大问题经历用转换单位比较、利用小数意义等值推导等数学工具证明小数性质的过程，在推理论证中扣问小数意义的本质，同时增强逻辑推理能力。

三、思辨中深入本质。

学生学习概念要经历一个复杂的认知过程才能实现从感性向理性的过渡，教师除了要提供典型、丰富的实例丰富学生的感知，同时还要引导学生进行多层次的辨析，层层深入本质，使学生对概念内涵的理解从文字层面进入实质层面。

《用字母表示数》【教学回放】

1.感知用字母来表示不确定的数。

（用字母a来表示吴老师的年龄）。

2.感知同一事件，不同的字母表示不同的数。

辨析：用a表示周老师的年龄可以吗？

学生都明确不可以。

师：在同一问题中，通常用不同的字母表示不同的数，在这里用除a外的字母表示更合适（板：y）。

思考：如果a和y比较大小会怎样？它们之间的关系确定吗？

学生汇报3种情况并表示关系不确定。

3.具体情境中字母式。

（1）补充信息，明析岁数之间的关系。

（2）师生共同举例，从个别到一般概括所有的情况。（吴老师a岁，周老师（a+7）岁）

追问：为什么a+7能表示周老师的岁数？

生：a是吴老师的岁数，加上她们的年龄差7岁就等于周老师的岁数。

师：哦，是因为根据她们的数量关系“吴老师的岁数+吴老师与周老师相差的岁数=周老师的岁数”得来的。

（3）辨析中明确字母式的优势。

思考讨论：用字母a表示吴老师的年龄，在增加了一个信息后也增加了一种表达方式，字母式a+7。比较y和a+7，有什么不同？你更喜欢哪种表达方式？为什么？

生各执一词，有的喜欢y，因为看起来简洁；有的喜欢a+7，因为更具体。

小结：a+7不仅表示了周老师的年龄，还能表示两位老师之间的年龄关系。

4.理解升华。

（1）迁移解读神秘人的年龄信息（神秘人的年龄是（a-14）岁）。

思考：从a-14你读懂了什么？你能像刚才那样用数量关系式表述神秘人的年龄吗？

生：吴老师的岁数-14=神秘人的岁数

（2）师生共同举例，以表格形式罗列吴老师和神秘人的具体年龄。

（3）观察思考：吴老师的年龄在变，神秘人的年龄在变，但什么不变？

生：神秘人和吴老师的年龄差不变。

（4）变换方式

如果用y表示神秘人的年龄，吴老师和周老师的年龄怎么表示？

吴老师的年龄是（y+14）岁，周老师的年龄是（y+21）岁。

追问：为什么可以这样表示？

生：因为吴老师比神秘人大14岁，所以用神秘人的岁数+14=吴老师的岁数；周老师比神秘人大21岁，所以用神秘人的岁数+21=周老师的岁数。

追问：周老师的年龄为什么一会儿加7，一会儿加21啊？

生：因为加7是跟吴老师的年龄a岁比的，加21是跟神秘人的年龄y岁比的。

师：说得真好！字母表示的数量发生了变化，字母式也会发生相应的变化。有什么是始终不变的？

生：他们之间的年龄差始终不变。

《用字母表示数（一）》的教学难点是结合具体情境，理解含有字母的式子不仅能表示数量，还能表示数量关系。其核心本质是表示数量关系。在这一环节中笔者安排了三次思辨，在思辨中层层递进加深对用字母表示数的本质理解。

1.两位老师的年龄问题呈现同一问题情境，学生在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的数，而且之间存在不确定的比较关系。

2.比较y和a+7。这冲突问题是学生认知的生长点，首次尝试了用字母表示数过渡到用字母式表示数。体会两者之间的区别，字母式既可表示数量，又可以表示数量间的关系，因此，在同一事件中两个数若有联系，尽量用字母式表示比较方便。

3.变换表示方式。在系列化的年龄问题情境中，学生重复多次根据两人之间的年龄关系式写出对应的字母式并对这一活动进行反省，都是在同一思维水平下的操作活动，“周老师的年龄为什么一会儿加7，一会儿加21啊？”这样的思辨是对用字母式表示数的深入探究，促使学生更灵活地理解函数思想和对应思想视角下的用字母式表示数的本质。

综上所述，APOS理论应用于概念教学，将数学知识和探究活动有效结合，更能深入概念形成过程的内部本质，更能反映学生认知数学概念的思维过程。在活动阶段基于学生的认知起点，精心设计各层次的活动和环环相扣的问题链，引导学生把操作、思维、语言三者有机结合起来，不断积累活动经验，丰富表象，为数学概念的形成提供反省抽象的对象，有效增强学生的思辨、推理能力。

参考文献：

[1]《小学数学概念教学：行与思》林武著 —北京：教育科學出版社2014.3

[2]义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2012.