关于德拜模型中N的物理含义的探讨

田 雨，郭小松

(1.四川大学 纺织研究所，四川 成都,610065；2.青岛科技大学 材料科学与工程学院，山东 青岛,266042)

固体物理是一门研究固体宏观性质与微观结构之间的相互关系的学科，它通过研究固体的微观结构和微观粒子的相互作用，结合其他物理学科,研究和分析固体的宏观性质。此课程可以使读者在对微观结构和宏观性质的相互关联的认知中得到更深层次的启发。

固体比热的研究是固体物理这一学科中一个较为基础和重要的部分，并且，在研究固体定容比热容时，实际常采用爱因斯坦模型和德拜模型，比较二者而言，德拜模型能更准确的描述和解释客观物理现象。因为，相比于德拜模型而言，爱因斯坦模型过于简单地假定所有处于晶体中的原子皆以一同样的频率进行振动[1]。然而，应用得较为广泛的物理教材[1-5]在讲解德拜模型时，都未十分详细地就德拜模型分别应用于具有简单晶格结构的晶体和具有复式晶格结构的晶体时字母N的含义的不同展开讨论。固体物理是一门非常适合开展教学型研究的课程，对德拜模型中N的含义进行较详细地探讨既是对教学型研究的“研究为体，教学为用”的内涵[6]的准确把握，也希望借鉴固体物理教学中引入新颖的内容以增加学生兴趣的经验[7]来提升教学质量。

1 德拜模型在具有简单晶格结构的晶体中的应用

德拜模型假设在温度较低时低频的声频支格波对晶体定容比热容影响最大。而对于低频长波而言，原子间的不连续性可以忽略,声频支格波频率较低，此时，晶体可视为连续弹性介质。因此，在德拜模型中，晶格和格波被当作弹性介质与弹性波[1]。对于具有简单晶格结构的晶体而言，仅有三支声频支格波，其中一支为纵声频支格波，两支为横声频支格波。以v1、v2以及vs分别表示纵声频支格波波速、横声频支格波波速和平均的弹性波波速,则有[2]：

(1)

且纵声频支格波模式密度g1(ω)、横声频支格波模式密度g2(ω)和三支声频支格波的模式密度之和g(ω)可用如下方程组表示[3]。

(2)

方程组(2)中v为晶体体积、ω为波的圆频率，色散关系为方程组(3),其中q为波矢。则ω可由(3)求得:

ω(q)=νq

(3)

(4)

其中，ωD为德拜频率,N是晶体的原子总数,n是晶体的原子数密度,由(4)式可得：

(5)

由(2)和(5)可共同解得(6)式。

(6)

另外,根据晶格振动热理论，若模式密度为g(ω)也直接可用(7)式描述出晶体定容比热容[2],T为热力学温度。

(7)

(8)

(9)

由此可知,对于具有简单晶格结构的晶体,将N理解为原子数是正确的,这既符合德拜模型的假设，而且推导出的定容比热容简化公式在高温区符合杜隆-帕蒂定律;在低温区也符合德拜T3律，即大多数固体在定容热容测定实验中表现出的CV∝T3的实验规律[5,8]。例如，固体镱在低温时定容热容与温度的关系与德拜T3律基本相符[9]。

2 德拜模型应用于具有复式晶格结构的晶体时N的含义讨论

目前，应用较广泛的物理教材[1-5]在推导或引入德拜模型时，都未十分详细地讨论由于研究对象的晶格结构类型的不同而导致德拜模型在应用中的不同,那么晶格结构类型的不同会使德拜模型在推导晶体定容比热容简化公式的过程中N的含义有何变化呢?

2.1 研究复式晶格结构的晶体时，N理解为原胞数更符合德拜模型的假设

在德拜模型中，晶格和格波被当作弹性介质与弹性波,低温下只考虑声频支格波对晶格定容比热容的影响。具有复式晶格结构的晶体与具有简单晶格结构的晶体一样，声频支格波同为三支,若平均的弹性波速度用νs表示，则三支声频支格波的总模式密度仍具有(2)式中g(ω)相同的的形式，即：

(10)

需要注意的是，对具有简单晶格结构的晶体而言，由于只有三支声频支格波而没有光频支格波，因此三支声频支格波的总模式数从数值上就等于晶体内的总自由度。但是，对于具有复式晶格结构的晶体而言，声频支格波和光频支格波同时存在，依照晶格振动理论，原胞中所有原子同向振动产生声频支格波，反向振动产生光频支格波[10]。设晶体含有N个原胞和N0个原子，所有格波的总振动模式数在数值上与晶体的所有原子的总自由度相等,即为3N0，而三支声频支格波的总振动模式数在数值上不与晶体的所有原子总自由度相等，格波的波失数目为原胞数N，故而三支声频波的模式数之和应为3N[2],显然，若每个原胞内有n0个原子，N0=Nn0。剩余光频波的模式数之和为3N0-N。

三支声频支格波的总振动模式数表达式如下：

(11)

与(4)式不同的是，上式中的字母N就不再是晶体的原子总数，而应为晶体内原胞数。与得到式(5)的计算过程类似，通过进一步计算，所得到的德拜频率为

(12)

此时的n也不再是晶体的原子数密度,而变成了晶体的原胞数密度。

造成这种差别的主要原因是德拜模型认为低温下只能激发声频支格波,每支声频支格波的模式数为N(原胞数),三支声频波的模式数之和就为3N。倘若N按照原子总数来理解的,则式(12)的物理意义可表述为三支声频支格波模式数之和即为晶体总模式数，这显然不对，前文已经指明了晶体总模式数应为所有声频支格波和光频支格波的模式数之和,这也与德拜模型最初的假设不符。故对具有复式晶格结构的晶体而言,晶体的三支声频支格波总模式数应为3N(N为原胞数)。

通过计算金刚石的德拜温度为例(ħ、kB的值分别取为1.0546×10-34J·s和1.3807×10-23J·K-1且金刚石的密度ρ=3500kg/m3,杨氏模量E为1000GPa,金刚石的德拜温度实验值为2230K[3]),对比对于德拜模型中N含义的理解方式的不同所造成的结果的差异：

1)若N按晶体内原子总数理解:

对于被视为弹性波的声频支格波而言,其平均弹性波速可依下式表示[1]。

(13)

体积取1m3，此体积内的原子数即为金刚石的密度除以碳原子的原子质量所得的值。

所以：

2)若N按晶体内原胞数理解,每个金刚石原胞中有两个原子[3],故原胞数为原子数除以2，则

由此可见,将N理解为原胞数的计算结果更接近于金刚石的德拜温度实测值2230K 。

2.2 在高温区，N若理解为原胞数，Cv简化公式与经典定律的不相符之处

(14)

(15)

式(14)中p为动量，ω为振动频率，q为偏离平衡位置的坐标。特别指出，式(15)中N0应为原子数。

但是，若N理解为原胞数，T≫ΘD时,通过与式(9)一样的方法化简计算得到的定容比热容简化公式为：Cv=3NkB,按此结果，定容比热容应该是原胞数的3kB倍,而由前段所述的经典理论而言，定容比热容应该是原子数N0的3kB倍。这时将N理解为原胞数后,虽然符合德拜模型的假设,而推导出的定容比热容表达式在高温区不符合杜隆-帕蒂定律。

3 小结

综上所述，德拜模型的核心物理思想有两点：

1)低温下只考虑声频支格波对晶格比热的产生的影响;

2)将声频支格波看成弹性波来计算。

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