从一道函数选择题想到的

陈宇洋

摘要：本篇文章从要解决的一道两个函数的交点问题出发，应用函数的各种性质，寻找作函数图象的方法.文章观点新颖，角度独特，对函数性质以及函数图象的变化趋势剖析得淋漓尽致，令人耳目一新.通过对本道题目的思考，文章总结出作函数图象的基本思路，即在作图前一定要对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点、渐近线等性质进行综合考虑，寻找对作图起关键作用的闪光点.本篇文章也很好地体现了数形结合思想的重要性，为今后处理类似问题提供了理论依据.

关键词：函数图象函数的性质数形结合

我是一名高一新生，是班级的数学科代表.在上学期期末复习的时候，有一位同学把一道在补习班做过的函数题拿来与我讨论.题目是这样的：函数y=|x|的图象与函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的图象的交点个数有（）.

A.3个B.4个C.5个D.6个

他说这是某校高一上学期期中数学考试选择题的最后一个问题，同学们对这个问题都感到不知所措，不知道从什么角度切入.后来老师用几何画板画出了两个函数的图象，大家才知道这道题需要利用函数图象解答，但是同学们又不知道如何不借助数学软件来画出函数图象.

据我了解，研究两个函数的交点问题无外乎两种方法：解方程和画图.我们试着解了一下方程，发现这是一个不可能完成的任务，因为变形之后，这是一个五次方程.所以唯一的方法就是画函数图象，考试的时候不可能用几何画板，那么如何用所学的函数知识画出函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的图象呢？

首先，老师说过，一切函数问题都要本着定义域优先的原则，这个函数的定义域是{x|x∈R且x≠0且x≠1且x≠2且x≠3}.所以画图象的时候要注意自变量的取值范围.其次，从单调性来看，函数y=1x、y=1x-1、y=1x-2、y=1x-3在各自的定义域的子区间内都是减函数，几个减函数的和在它们公共的定义域的每个子区间上仍然是减函数.所以，函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3处都是断开的，并且在它的定义域的每个子区间（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上都是单调减函数.

但是，我们知道函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3在x=0，1，2，3处是没有定义的，那么函数在区间（-∞，0），（0，1），（1，2），（2，3），（3，+∞）上是以什么形态减少的呢，是直线型的还是曲线型的、凹的还是凸的、函数值是从多少减到多少的呢？在小学、初中时期，老师一再强调分数的分母不能为0，因为分数的分母为0，分数是无意义的，分数值是不存在的.而什么是不存在呢？经过高中基本初等函数的图象的学习，我发现我们在数学中所说的不存在其实都是无穷，自变量越趋近于这个数，函数值就趋近于无穷，没有最大，只有更大，没有最小，只有更小，所以函数值不存在的地方都是函数的渐近线.例如，函数y=1x，定义域为{x|x∈R且x≠0}，值域为{y|y∈R且y≠0}，所以，函数y=1x是以x=0、y=0两条直线为渐近线的.因此，对于函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3而言，直线x=0、x=1、x=2、x=3都是这个函数的渐近线，函数在区间（0，1），（1，2），（2，3）上都是从从左至右、从正无穷、先凹后凸、呈S型减小到负无穷的.

最后，在直线x=3的右侧，没有其他的渐近线了，它的图象在递减过程中是如何变化的呢？考虑一下函数在区间（3，+∞）上的值域，发现在x>3的情况下，函数值都是正的，并且在自变量x趋近于+∞时，y的值趋近于0，所以在区间（3，+∞）内，函数是以x=3和y=0为渐近线并且单调递减的.同理，在区间（-∞，0）上，函数是以x=0，y=0，为渐近线并且单调递减的.

由此，我们可以基本不借助任何数学软件画出函数y=1x+1x-1+1x-2+1x-3的图象（如图1），此题得解.

通过这道题的解题过程，我们可以发现，数形结合的思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，关键是要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及图象的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义，由数思形，以形想数，做好数形转化.老师说数形结合思想在高中数学多个领域都有渗透，我们在平时的学习中应注意积累，加以整合，加深对这一思想的灵活运用.函数初学者在学习过程中应该首先注意提高自己应用函数图象的意识，遇到问题，想画图象、会画图象.下面再举例说明.

例若方程lg（-x2+3x-m）=lg（3-x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围.

分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图象进行解决.

解：原方程变形为3-x>0，-x2+3x-m=3-x，

即3-x>0，（x-2）2=1-m.

设曲线y1=（x-2）2，x∈（0，3）和直线y2=1-m，图象如图2所示.由图可知：

①当1-m=0时，有唯一解，m=1；

②当1≤1-m<4时，有唯一解，即-3

∴m=1或-3

点评：一般地，在对方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图象直观解决，简单明了.上面以数形结合思想在函数中的应用举例说明，函数的图象与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、零点是相互依存的关系，画图象之前，应该先判断函数的各种较为鲜明的性质，而具体问题中，函数较为鲜明的性质又是不一样的，将其中的某些关键点综合在一起，才能绘制出正确的图象.

华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”运用函数的各种性质作图、识图、并把图象应用到解题中，是我们学好函数的关键所在.

参考文献

徐斌艳.《数学课程改革与教学指导》[M].华东师范大学出版社.2009.

中学数学教材实验教研组.《普通高中課程标准实验教科书》〔M〕.人民教育出版社.2007.陆建.《立体几何中画图、识图、用图的调查与反思》[J].中学数学教学参考.2006（5）.

刘焕芬.《巧用数形结合思想解题》[J].数学通报.2005（01）.