新型可调动力吸振器设计及参数优化

李强，董光旭，张希农，罗亚军，张亚红，谢石林

西安交通大学 航天航空学院，机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049

振动控制在航天航空领域里具有举足轻重的作用。空间站、航天器以及军民用飞机中由机械旋转不平衡、热变形或流体运动等引发的零部件震动、机翼颤振等，极易造成结构变形损伤等严重后果[1-3]。Boucher[1]详细分析了空间站不同部件中的振动源，包括太阳能阵列和热辐射器旋转接头、通讯天线、姿态控制陀螺仪等，指出由旋转接头等诱发的机械振动往往频率较低。吸振器作为一种常用振动控制设备，其中的线性吸振器由于结构简单、安装方便等优势已在振动控制领域内得到大量应用[4-8]，然而其狭小的减振带宽及常规吸振频带往往无法满足航天设备实际设计中对低频振动控制的需求。为此，学者们积极寻找解决方法，其中的一个主要观点是引入非线性吸振器[9-13]。

作为一种研究最为广泛的非线性吸振器——非线性能量吸收器(NES)，因其无固有频率，故而能与任意振动频率相适应[14-15]。定向能量转移(TET)是NES的重要特性，可实现能量不可逆转移，该特性已在理论和实验中得到证实[16-18]。Gendelman等在文献[19-20]中先后详细研究了NES的非线性特性，并指出处于强调制(强准周期)的NES具有优越的振动抑制性能。Hubbard等[21]在将其应用于机翼振动控制时表明，NES的TET特性在气动稳定性方面极具研究前景。但由于缺少线性刚度项，使其承载能力弱，而共振频率随振幅变化的特性，增大了NES对固定频率振动抑制的实现难度。

引入线性刚度项的非线性吸振器，通常被称为非线性调谐吸振器(NTVA)，其具有本征频率，非线性刚度项使共振频率在本征频率附近偏移。Roberson[9]在理论研究具有立方恢复力项的NTVA中发现该类吸振器具有拓宽吸振频带的特性，引起学者对此极大关注。Nissen等[10, 22]采用碟形线圈对构成具有软弹簧特性的NTVA，使得吸振带宽约达到线性吸振器的2倍。为充分利用该类吸振器进行振动控制，学者们提出各种结构形式，实现该类吸振器设计。Rice和McCraith[11]提出两端固定梁的中心位置变形时恢复力呈非线性特性，利用该特点进而形成由对称斜弹簧构成非线性刚度[23]，而刘海平等[24]则在此基础上提出使用欧拉屈曲梁代替斜弹簧。采用磁性机构则为另一种常见方式[25-26]，采用该方式设计出的吸振器往往具有结构简单、占用空间小、便于控制等优点。Natsiavas[27]通过深入分析引入NTVA后的系统频响曲线中所出现各种情况，指出须选择适当的吸振器参数，才可避免不稳定响应，并有效抑制主系统振动，否则，将导致多值振动、组合共振、分岔混沌等复杂非线性现象[28-30]。

在航天器及空间站中，为应对多种或可变共振频率振动，实现调谐特性在吸振器设计中将显得尤为重要。Keye等[31]指出涡轮螺旋浆飞机噪声与螺旋叶片数与转数积相关，不同飞行阶段引擎转数变化使得共振频率不同，固定本征频率的NTVA往往难以有所建树，为此提出一种轴向预压悬臂梁的吸振器模型，用于实现调谐特性。Deng等[32]研究基于磁流变弹性体特性的NTVA时，实验证明通过改变磁场强度，可实现固有频率在55～82 Hz范围内变化。Bonello等[33]则基于可变刚度单元概念采用3种设计实现刚度可调特性。Franchek[34]设计了一种类反馈控制的基于最小化输入电压调谐电路实现刚度调节，实验证明了该设计的可行性。

然而, 遗憾的是，常规NTVA振动控制频带往往难以向低频/超低频范围扩展。负刚度，因可实现准零刚度特性，而被成功应用于隔振器对低频/超低频振动的有效隔离中[35]，这启示着学者们将其应用于吸振器设计。Shen等[36]提出一种负刚度吸振模型，应用定点理论得到最优吸振器参数，从理论上证明了负刚度可提高吸振器对主系统振动幅值的抑制能力。Acar和Yilmaz[37]则提出一种配有负刚度张力调整机制的弦-质量可调吸振器，实验表明，负刚度的移频特性在低频振动有效控制中作用极为显著。在前述学者们的研究中，负刚度被认定为线性，然而绝大多数负刚度实现方式在本质上是非线性的。在吸振器设计中，负刚度的非线性特性往往更难以被忽略，却少有学者对此深入研究。

为实现低频振动控制，扩展其可应用频率范围，本文提出一种负刚度实现机制，并在此基础上，设计出一种新型可调动力吸振器(NDVA)。将提出的吸振器用于低频振动控制时，由于负刚度的非线性特性，为避免传统非线性参数优化方法耗时低效等缺陷，提出一种基于稳定性分析的参数优化方法，通过简单迭代获取最优吸振器参数。此外，提出的吸振器的优越鲁棒稳定性使其在低频/超低频振动控制中的应用价值和潜力显著提高。

1 新型可调动力吸振器

如图1所示，新型可调动力吸振器由螺旋柔性弹簧(SFS)、刚性杆、磁性负刚度弹簧(MNSS)及其他辅助部件组成。螺旋柔性弹簧承载位于其腔室内的环形永磁体6，螺旋臂提供轴向正刚度，在环形永体6位移不大时，其刚度保持不变[38]。法兰直线轴承2、11外壁底部及端部带有外螺纹，与外圆柱壁19的内螺纹相互啮合，上下旋转时，可移动固定于其外侧的环形永磁体4、13，从而调整相对于环形永磁体6的相对距离。刚性杆与螺旋柔性弹簧及环形永磁体6内壁固定，通过轴承中心通孔与主系统相连接。

如图2所示，磁性负刚度弹簧由4、6、13这3个环形永磁体组成，3个环形永磁体均沿轴向磁化，环形永磁体4和13对环形永磁体6的作用力表现为吸引形式。基于分子电流假说，磁性负刚度弹簧的理论等效刚度为[38]

图1 新型可调动力吸振器剖面图Fig.1 Cross-section of new tunable dynamic vibration absorber

(1)

式中：μ0为真空磁导率，μ0=4π×10-7N·A-2;M1和M2为环形永磁体6和环形永磁体4、13的磁化强度大小；Φ1和Φ2的表达式为

(2)

其中：z1和φ1为环形永磁体6的局部柱坐标；z2和φ2为环形永磁体4、13的局部柱坐标；z为环形永磁体6的位移；r(1)和r(2)为环形永磁体6的内外半径；rin,2和rout,2为环形永磁体4、13的内外半径；h1和h2分别为环形永磁体6和环形永磁体4、13的厚度；z(1)和z(2)为环形永磁体6的上下表面在z轴方向上的位置，z(1)=z-h1，z(2)=z+h1。图3(a)为磁刚度随位移z的变化曲线，仿真参数如表1所示。从图3(a)中可以看出：磁刚度随环形永磁体6距静平衡位置的距离的增大先增大而后在越过点Q1和Q2后有所下降，且在其位移不超过Q1和Q2限定范围时，如图3(b)所示，理论磁刚度可被近似为

km=k11+k33z2

(3)

图2 磁性负刚度弹簧(MNSS)设计Fig.2 Layout of Magnetic Neagtive Stiffness Spring(MNSS)

式中：k11和k33为系数。进一步研究发现，若使环形永磁体6的位移始终处于(-l/2,l/2)范围，改变磁间距l时磁刚度仍可用式(3)的多项式拟合，仅其各项系数k11和k33有所变化。如图4所示，k11和k33与磁间距l满足函数关系，可用式(4)和式(5)进行描述：

k11=f1(l)=-16.87-

(4)

图3 磁刚度随环形永磁体6位移的变化曲线Fig.3 Curves of magnetic stiffness vs displacement of annular permanent magnet 6

表1 磁环参数Table 1 Parameters of magnetic rings

图4 等效磁刚度系数随磁间距l的变化曲线Fig.4 Curves of equivalent magnetic stiffness coefficients vs gap l

k33=f3(l)=-2.92×108+8.03×106·

(5)

若螺旋柔性弹簧刚度为kSFS，则吸振器所提供的恢复力为

(6)

式中：k1=kSFS+k11,k3=k33/3。

2 动力学方程的建立

图5 系统动力学模型Fig.5 Systemic dynamical model

将提出的吸振器用于主系统振动控制时，其动力学模型可简化为如图5所示。利用牛顿第二定律，结合式(6), 可得到系统动力学方程为

(7)

式中：ms、cs和ks为主系统的质量、等效黏性阻尼系数和刚度；m和c分别为吸振器的质量和等效黏性阻尼系数；F为激振力幅;ω为外激励频率；t为时间。

引入无量纲量：

式(7)可化为

(8)

进一步令

则由式(8)可得到

(9)

将式(9)写为矩阵形式为

(10)

式中：

3 稳态响应

设系统响应为

X=ucosτ+vsinτ

(11)

式中：u=[us,u]T,v=[vs,v]T。u和v关于时间慢变，慢变假设为

u′cosτ+v′sinτ=0

(12)

结合式(12), 将式(11)代入式(10)，可得到

(Mv′-Mu+Cv+Ku)cosτ-

(Mu′+Mv+Cu-Kv)sinτ=f(u,v,τ)

(13)

结合式(12)和式(13)，在(0, 2π)上关于cosτ与sinτ积分并求平均，可得到

(14)

(15)

u′=0,v′=0

(16)

将式(16)代入式(14)和式(15)，可得到频响方程组为

(17)

(18)

相位为

(19)

(20)

为分析稳态解的稳定性，引入摄动量，即

{u→u0+Δu

v→v0+Δv

(21)

式中：u0和v0为稳态解；Δu和Δv为摄动量。将式(21)代入式(14)和式(15)中，忽略二次及其以上项，可得摄动方程为

(22)

其中：J为雅克比矩阵，其具体表达式见附录A。若矩阵J所有特征值的实部小于零，则认为稳态解稳定，否则认为不稳定。

非线性吸振器相比于线性吸振器(LDVA)，目前被学者广泛认可的优势在于有效拓展吸振带宽，该特性在本文所提出的吸振器中得到体现，如图6所示。从图6可以看出，存在最优磁间距l, 将NDVA的吸振带宽BNDVA拓宽至约为线性吸振器BLDVA的2.5倍。但值得注意的是，带宽虽得以拓宽，但仍难以有效抑制由频带较宽的外干扰引起的振动，且因吸振器阻尼较小，振动衰减时间一般较长。因此，为迅速衰减较宽频带振动，通常以振幅最小化为吸振参数优化目标。本文所提出吸振器采用磁性刚度，对磁间距l敏感，因而调整磁间距l对振动响应的影响将显得极为明显。从图7中看，将l从20.0 mm调整到22.5 mm时，高幅响应曲线分离出独立于主低幅响应曲线之外的高幅游离环，而进一步增大到25.0 mm时，游离环消失，仅剩幅值较小的主响应曲线，使共振频率附近较大频带内的振动得到控制。因此，为获得最优振动控制效果，选择适当的吸振器参数，尤其是磁间距l, 其意义将显得尤为重大。为避免传统非线性吸振器参数优化算法耗时长、效率低等缺点，第4节中将基于稳定性分析，提出一种参数优化方法，通过简单迭代获得以磁间距为主要优化对象的最优参数值。

图6 减振带宽比随磁间距l的变化曲线Fig.6 Curve of absorption bandwidth ratio vs gap l

图7 磁间距l对频响曲线的影响Fig.7 Effect of gap l on frequency response curves

4 参数优化

稳定性分析作为非线性系统中必不可少的部分，在吸振器参数优化设计中必然涉及避免不稳定性振动的出现。平衡点附近存在的分岔常见的有鞍结分岔和霍普夫分岔。霍普夫分岔具有较强条件性，鞍结分岔则常存在于一般非线性系统中。当其出现时，意味着系统发生突跳，严重削弱非线性吸振器的振动抑制能力。利用稳定性对吸振器参数进行优化是一种新思路。在文献[39]中，采用稳定性分析方法实现了吸振器参数优化,突跳等非线性现象得到避免，主系统振动得到有效抑制。参数优化后的主系统频响必然为单值，换言之，非线性吸振器的最优参数必然存在于使得主系统响应为单值的取值区间内。而界定响应单值或多值临界条件为突跳，也称鞍结分岔。因此，对鞍结分岔的分析有助于实现非线性吸振器参数优化。

4.1 鞍结分岔

本节主要分析鞍结分岔存在时参数间所满足的函数关系以及吸振器参数对鞍结分岔分布的影响，为4.2节参数优化提供依据。

4.1.1 鞍结分岔条件

若令s=Y2，式(18)可重写为

as3+bs2+cs+d=0

(23)

式中：系数a、b、c和d的表达式见附录B。对式(23)关于s微分，有

3as2+2bs+c=0

(24)

结合式(23)和式(24), 消去s, 可得到

27a2d2+4b3d+4c3a-18abcd-b2c2=0

(25)

式(25)即为鞍结分岔存在时吸振器参数间所需满足的函数关系。系统非线性大小为鞍结分岔存在的关键参数。因此，以系统非线性κ为参数进行稳定性分析将最为适当。

(26)

式中：

对式(26)进行求解，可得到

(27)

式中：

图8 鞍结分岔存在时的参数平面(κ, λ)Fig.8 Parametric plane (κ, λ) in presence of saddle-node bifurcation

图8为鞍结分岔存在时的(κ,λ)参数平面，其中，μ、ω0及ζ等参数固定。图8(a)为全局分布，图中曲线表示鞍结分岔出现时对应的非线性值κ及频率比λ。曲线将参数平面分成2个区域：1—三解区域；2—单解区域。κ正负分别与硬弹簧刚度特性和软弹簧刚度特性对应。从图8(a)中可以看出，刚度表现为硬弹簧特性和软弹簧特性时曲线分布具有较好的相似性。图8(b)为κ<0时的参数平面(κ,λ)。不连续分布曲线可分为左右2个独立分支。右侧分支位于主系统共振频率附近，而左侧分支远离共振频率，分别对应频响曲线中左右2个共振区。为分析非线性取不同值时的系统响应特征，将非线性分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ这4个区间，其中Ⅰ和Ⅲ区间对应单值响应，Ⅱ和Ⅳ区间则为多值响应。从响应优化角度看，对Ⅰ和Ⅲ的区间分析将作为研究重点，将在4.2节进行详细分析。

4.1.2 参数影响

当系统响应发生突跳时，系统非线性κ必将处于Ⅱ或Ⅳ区间。若调整吸振器中某参数，使得(κ,λ)平面中不同区间临界非线性值改变，从而系统非线性κ小于参数改变后进入Ⅱ或Ⅳ区间的临界非线性值，进而使得系统非线性κ处于Ⅰ或Ⅲ区间内，突跳得以避免，从而达到优化参数目的。因此可认为阻尼、质量比等在优化中的作用为影响(κ,λ)平面上不同区间非线性临界值的增大或减小。

图9为阻尼对参数平面(κ,λ)的影响。随阻尼增大，各区间临界非线性值迅速增大。当阻尼增大到一定程度时，右侧分支消失，意味着在较大非线性κ取值范围内主系统共振频率附近内不存在突跳。随阻尼增大，曲线所包含区域迅速减小，表明多值振动存在区域不断减小，系统振动稳定性得到增强。因此，适当增大阻尼可在保证系统避免突跳的同时，提高系统振动稳定性。

图9 阻尼对参数平面(κ, λ)的影响Fig.9 Effect of damping on parametric plane (κ, λ)

图10 调频比ω0对参数平面(κ, λ)的影响Fig.10 Effect of tuning ratio ω0 on parametric plane (κ, λ)

图10为调频比ω0对参数平面(κ,λ)的影响。适当增大调频比ω0，曲线左侧分支下降而右侧分支抬高，增大进入Ⅱ区间的临界非线性值，意味着突跳发生阈值得以提高。但不幸的是，调频比ω0超过一定值后，曲线左侧分支下降超过低于右侧分支最小非线性值，反而减小系统不发生突跳所能允许的非线性κ取值区间。值得注意的是，曲线包含区域范围随调频比ω0增大而在迅速扩大。因此，调频比ω0仅在一定范围内增大对避免突跳是有利的。质量比μ对参数平面(κ,λ)的影响与调频比ω0类似，在此不予赘述。

4.2 参数优化算法

本节结合4.1节中的稳定性分析，通过简单迭代获得提出吸振器的最优参数。

4.2.1 迭代优化算法原理

结合图8(b), 取各区间非线性值，得到图11对应的响应曲线, 1、2、3、4与Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ区间一一对应。从图11中结果看，系统非线性κ不大于Ⅰ和Ⅱ区间临界非线性值为参数优化必需条件。结合式(27)，可得到Ⅰ和Ⅱ区间的临界非线性值κcr为

κcr=μg(ω0,ξ,μ)min

(28)

从而避免突跳的有效非线性值为

κava=ηκcr

(29)

式中：η∈[0,1]被称为有效系数。 第2节系统方程无量纲化过程中，系统非线性κ被定义为

(30)

若欲使系统振动得到有效控制，需使系统非线性κ等于有效非线性值κava。结合式(28)～式(30), 可得到吸振器非线性刚度系数满足

图11 非线性取值位于不同区间时对应的频响曲线Fig.11 Corresponding frequency response curves for nonlinear values in different regions

(31)

进一步结合式(5), 环形永磁体6和环形永磁体4、13间避免突跳的有效间距为

(32)

式中：lcr为临界磁间距。当磁间距l处于有效范围内时，系统响应不发生突跳，系统将表现出类线性系统行为。因此，基于上述分析，结合线性吸振器设计准则，将得到获取最优参数的简单迭代算法。

在线性吸振器设计中，最优调频比为[40]

(33)

对于杜芬振子，其共振频率随振幅发生偏移，骨架线由文献[41]给出为

(34)

以线性吸振器设计中的最优调频比作为最优调频比，即

(35)

结合式(34)和式(35), 有

(36)

参数寻优迭代算法步骤为：

1) 设定迭代初值ω0，结合式(31)和式(32)求取非线性刚度系数以及有效磁间距l。

2) 结合频响方程式(18), 寻找频响曲线最大振幅Ymax。

3) 结合式(36)及步骤1)和步骤2)中获得的参数，更新ω0。

4) 反复重复步骤1)～步骤3)，当先后2次获得的ω0误差不大于设定值，输出ω0与l。

输出值ω0与l即最优值。

4.2.2 参数优化结果分析

图12为迭代算法获得最优调频比ω0,opt与最优磁间距lopt的过程。取任意初始调频比ω0，经过有限步迭代后，调频比ω0与磁间距l迅速收敛于最优值。在上述迭代中，有效系数η和阻尼c均已知。图13和图14分别为有效系数η和阻尼c对最优调频比ω0,opt与最优磁间距lopt取值及系统响应影响。如图13(a)和图13(b)所示, 当增大有效系数η时，最优磁间距lopt不断减小，最优调频比ω0,opt则增大，但有效系数η变化时获取的最优参数值所对应的系统频响变化却不大(见图14(a))。当有效系数η固定时，随阻尼c增大，最优磁间距lopt和最优调频比ω0,opt的变化规律与有效系数η影响类似，对系统响应影响也类似于有效系数η(见图14(b))。因此，有效系数η和阻尼c的取值在吸振器设计中非主要优化参数。在实际设计中，根据实际阻尼值c，任取有效系数η<1，通过简单迭代得到最优磁间距lopt和最优调频比ω0,opt，可使得主系统振动在共振频率附近较宽频带范围内得到有效抑制。提出吸振器的另一优势——鲁棒稳定性，将在第5节说明。

图12 任意初值ω0下的迭代寻优过程Fig.12 Procedure of optimization with iteration for arbitrary initial ω0

图13 c和η对最优参数值的影响Fig.13 Effect of c and η on optimal parameters

图14 不同η和 c所取得最优参数值对应的频响曲线Fig.14 Frequency-response curves of optimal parameters with different η and c

5 鲁棒性稳定性

吸振器在实际应用于航天设备的振动控制时，往往存在大量不确定因素，如结构加工装配误差、机械磨损等造成刚度、阻尼偏移及航天器等复杂工作环境中的干扰源强度等。这些不确定参数对在确定参数下设计的吸振器振动抑制性能影响较大。这些不确定因素的变化对吸振器的振动抑制性能有效发挥的影响程度，换言之，吸振器对不确定因素的抵抗能力的研究，将显得尤为重要。吸振器对这种不确定因素变化引起振动抑制性能衰减的抵抗能力称为鲁棒稳定性。图15为使用本文所提出的吸振器与线性吸振器时调频比ω0、阻尼c以及干扰幅值F在一定范围变化时主系统最大位移的对比结果。主系统位移越小，则表示鲁棒稳定性越好。图15(a)、图15(b)和图15(c)的对比结果可证明，提出吸振器在鲁棒性稳定性方面比线性吸振器更具优势，使得所提出的吸振器在实际振动控制中往往具有更优越的效果。

图15 本文所提吸振器的鲁棒稳定性Fig.15 Robustness of proposed absorber

6 结 论

1) 新型吸振器具有的磁性刚度对磁间距敏感，可通过螺纹机制改变外磁环与运动磁环相对间距，使所提出的吸振器具有调谐特性。

2) 将吸振器应用于振动控制时，采用平均法推导出系统频响方程及稳定性判据。为获得最优吸振器参数并避免传统非线性吸振器参数寻求中耗时低效等缺陷，基于稳定性分析，通过简单迭代算法，快速获取最优参数值。

3) 相比于线性吸振器，新型吸振器优越的鲁棒稳定性，提高其应对复杂工作环境能力，增强振动抑制效果及可靠性，使所提出的吸振器在低频/超低频振动控制领域更具研究价值和应用前景。

(A1)

式中：

J11=-2Zλ

(A2)

J13=-(λ2(1+μ)-1)

(A3)

J14=-λ2μ

(A4)

(A5)

J23=-λ2

(A6)

(A7)

J31=λ2(1+μ)-1

(A8)

J32=λ2μ

(A9)

J33=-2Zλ

(A10)

J41=λ2

(A11)

(A12)

(A13)

附录B

a、b、c、d的具体表达式为

(B1)

(B2)

4Zζω0λ2+λ4μ]2

(B3)

d=-λ4

(B4)