巧用渐近线解双曲线离心率

吴芳

摘 要 本文采用数形结合的方法，通过对双曲线中的离心率与渐近线关系的研究，巧妙计算双曲线离心率的问题，简化计算过程，有效提高了解题效率，进而提高学生数字核心素养。

关键词 双曲线；渐近线；离心率；数形结合

中图分类号：TH132.415 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）36-0241-01

渐近线是双曲线所特有的一个性质，在双曲线的学习中占据一定的空间。由于双曲线的离心率 ，所以双曲线中的离心率问题与渐近线问题密切相关，两者可相互转化。

而在运用双曲线 的渐近线解决问题时，我们往往更多地关注渐近线的代数表达式 ，而忽略了与离心率直接相关的 与渐近线倾斜角 这一几何要素之间的关联 。巧用渐近线的倾斜角，从“形”的角度去建构 的等量关系，能够大大地简化计算，提高解题效率。

例1：已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若 为直角，则双曲线离心率为_________

解：记 ，不妨设 ，则有 。

又∵ ∴ ，由此可得

即 ，根据 可算得离心率 。

此解法是从渐近线的形出发，利用平行和直角三角形的性质，直接求解渐近线的倾斜角，从而得到 的等量关系，简洁明了，所以在涉及渐近线问题时，我们不仅仅注意它的方程，还要抓住“角”这一形的代表，体现了数形结合的数学思想。

例2：已知双曲线 的右顶点为 为坐标原点，以 为圆心的圆与双曲线 的某渐近线交于两点 .若 ，则双曲线 的离心率为________

解：过 作 ，设 ，根据圆的性质可知， ，所以在 中， ，由此，可算得 。

此解法構建了关于渐近线倾斜角的直角三角形，利用边长关系求得倾斜角的正切值，进而求得离心率，以形助数，简化计算。

例3：已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 交双曲线的渐近线于 两点，且与其中一条渐近线垂直，若 ，则该双曲线的离心率为______

解：如图，不妨设 ，易知 ，∴ ，则在 ，可得 ，即 ；

另解：由渐近线的对称性可知 的角平分线，由此可知 ，∴ ，根据勾股定理可得 ，即 ，得 。

此题借助渐近线有关的特征三角形及渐近线倾斜角的边角关系进行列式。

在双曲线渐近线的教学中，笔者认为既要学生掌握双曲线渐近线的方程这一代数表达式，也要关注渐近线倾斜角这一几何要素，以形助数，以数解形，有利于问题的简化，也有利于学生把握数学问题的本质，渗透数形结合的思想方法，提升学生数学核心素养。

参考文献：

[1]王兴月.巧解双曲线中有关渐近线的问题[J].中学数学教学参考，2015（7X）：54-55.