龙门吊运输动力学分析和优化设计

徐沈阳 熊友兵 刘秀明

（天津工业大学，天津 300387）

门式起重机是桥式起重机的一种变形，又叫龙门吊。龙门吊作为一种运输机械被广泛应用于工程方面[1]，国内外的专家和学者对此系统的研究也早已开始，但是缺少对运动的动态分析和评价。如何通过使用模型进行合理的设计后能够满足安全、高效的需求以完成检测已成为各位专家和学者密切关注的问题[2-3]。吊车运动过程中会引起货物的摆动，合理进行防摆控制是提高吊车工作效率和安全性的重要手段[4]。本文通过深入分析货物摆动的动态过程，研究货物摆动对系统的影响，这对货物的消摆具有重大意义。

1.动力学分析

1.1 运动状态分析

由于货物摆动过程中，缆绳受力随速度、摆角等因素的变化而变化，导致缆绳长度会产生一定的伸张，从而对摆角等因素产生影响。本文只分析货物摆动过程中缆绳长度不变的情况。

另外，由于货物运动时，其所受空气阻力难以简单界定，受到多种因素的影响。因此，在理想状态下（忽略空气阻力）研究问题，能更加方便、准确地得出结论。本文忽略货物摆动过程中空气阻力对负载的影响。根据达朗伯原理[5]，对货物m进行受力分析，得到系统的微分方程：

运用 MATLAB求解方程组[6-7]，绘制吊车运动速度曲线、摆角随时间变化曲线以及货物在平衡位置振动时摆角变化曲线，可得吊车加速至匀速阶段的运动过程。本文给出了摆角和平衡位置的定义。

（1）摆角：缆绳与竖直方向的夹角；

（2）平衡位置：货物在某摆角处不停振荡的中心位置。

通过对两个微分方程的求解，可以得到在系统加速阶段各物理量的变化情况，如图1、图2所示。

由图1可知，货物摆角由初始状态零度开始增大，随着吊车速度增加，货物摆角恒为正值且逐渐减大，在加速阶段结束时摆角的大小为在匀速运动阶段摆角的峰值。匀速运动阶段，货物摆动的平衡位置为零位置；吊车在减速运动阶段，货物的摆角为负值且逐渐减小；最终吊车匀速阶段，货物在零位置附近摆动。

由图2可知，货物在每个平衡位置不停振动，类似简谐运动。

1.2 运动过程

根据吊车运动曲线，可将整体运动过程分为四个阶段。第一阶段为吊车匀加速阶段，摆角由最大位置逐渐减小并在每个平衡位置不停振荡做简谐运动；第二阶段为吊车匀速阶段，货物的平衡位置为零位置，在零位置附近不停振荡；第三阶段为吊车匀减速阶段，货物摆角变为负值；第四阶段为吊车匀速阶段，货物从负最大摆角回到零位置。

1.2.1 加速阶段

货物摆动的模型如图3所示。吊车加速时间为t1，匀速运行时间为 t2，减速时间为t3。m1为吊车质量，m2为货物质量，θ为货物的摆角，F为小车所受合外力，FT为缆绳的拉力，l为缆绳的长度。货物在摆动过程中θ比较小，可近似认为Sinθ≈θ，cosθ≈1。

设小车与货物的坐标分别为（x,0）、（xm,ym），则有

忽略缆绳的形变，则上述方程可简化为

根据坐标关系，可以得到系统的动能为

拉格朗日方程标准形式[8]为

该系统的拉格朗日方程为

将式（1）分别带入式（2）、（3）中可得

采用Laplace变换的方法对两个微分方程进行求解[9-10]，吊车开始加速，货物由零位置开始摆动，故初始条件为

经过Laplace变换得

求Laplace逆变换得

对于缆绳受力，对吊车应用牛顿第二定律得

将（4）式带入上式得货物在摆动过程中对系统水平方向的力为

其中，T1为缆绳的拉力，θ1为第一阶段运动的摆角。

1.2.2 匀速运动阶段

吊车经过时间进入匀速阶段，货物过渡到在零位置摆动的阶段，式（5）变为

利用加速阶段求解过程，解得

1.2.3 减速运动阶段

类比吊车在加速阶段的动力学分析，第二阶段匀速运动摆角的末值为减速阶段的初始值，对式（6）求Laplace反变换可得

1.2.4 最终匀速运动阶段

第四阶段匀速过程可类比第二阶段匀速过程，摆角变化为负值，得到微分方程

利用加速阶段求解过程，解得

2.运输模型的建立

2.1 目标分析

运输过程中，运输效率是评价运输方案优劣的指标，本文定义系统运输效率为单位时间内运输货物的重量

2.2 约束分析

（1）距离约束

前三个阶段运动距离D1为

吊车第一阶段做加速运动，初始状态为静止的，即：v1=0。

吊车第二阶段做匀速运动，初始速度为吊车所达到的最大速度，等于第一阶段运动末速度，即：v2=a1t1。

吊车第三阶段做减速运动，初始速度等于匀速阶段速度，即：v3＝v2=a1t1。

第四阶段运动距离 D2为：D2＝v4t4。

吊车第四阶段做匀速运动，初始速度为减速时间后的速度，即：

（2）时间约束

由整个调运时间不超过最大可接受时间，可得

其中，Tmax为四个阶段的总时间，ti为第 i个运动阶段时间。

第一阶段和第四阶段吊车运动加速度大小相等方向相反，由于在第四阶段吊车仍有速度，则可知加速阶段时间大于减速阶段时间，即

（3）速度约束

货物第三阶段运动最终摆动速度和最终时刻的摆角，决定了第四阶段货物的水平速度。

如图4，对货物的摆动速度分解得到

式中vf3是第三阶段末货物的摆动速度，vx是货物运动的水平速度。

（4）摆角约束

第四阶段匀速过程可类比第二阶段匀速过程，摆角变化为负值，得到微分方程

利用Laplace变换求解微分方程，解得

其中θ4为第四阶段匀速运行时货物的摆角。

受力分析得出的每个阶段摆角的函数，设过程中允许的最大摆角为θmQX，得到如下限制

式中θ4为第四阶段匀速运行时货物运动的摆角。在寻求最终目标时，采用保守策略是稳妥的，即在最坏的情况下寻求最好的结果，所以采用极小极大法求解。由于货物在平衡位置不停地振动，求出货物最大的振动摆角，使该角度最小，即为所要达到的摆动范围。

（5）缆绳承载力约束，缆绳受力不能超过其最大承载力范围限制为

3.实例分析

为了进行应用验证，本文选取了代表性较强的龙门吊配置进行分析：绳长15m，货物运动总长在75-80m之间，最大加速度为 1m/s2，最大运输时间为120s，缆绳最大承载能力为20000kg。利用MATLAB求解非线性规划问题，设置时间的精度为0.01，得到各个运动的摆角变化曲线如图4、图 5所示。

图4 第一阶段摆角变化图

图5第二阶段摆角变化图

图4 为第一阶段货物摆角变化，5.1s内货物的摆角逐渐向正方向增大，在1.2s时形成最大摆角，为 1.0813°。

图5为第二阶段货物摆角变化，第二阶段运动时间为16.8s，在该段时间内货物在零位置附近不停振动，在1.2s时形成最大的摆角，为2.5143°。

图6 第三阶段摆角变化图

图7第二阶段摆角变化图

图6 为第三阶段货物摆角变化，第三阶段运动时间为0.2s，摆角向负方向逐渐增大，在21.3s时形成最大摆角，为-2.2877°.

图7为第四阶段货物摆角变化，第四阶段运动时间为28s，摆角在零位置附近振动且摆角很小。在35.2s时形成最大摆角，为-2.1686°。

综上所示，运输过程中，总时间为53s，运动时间和摆角关系如表1所示。

表1 运动时间和最小摆幅

此时的加速阶段的加速度为0.83m/s2，调运质量为6050kg。求解出的四个阶段摆动均比较小，保证货物安全。加减速时间较短，两段匀速时间较长，货物平稳运动时间较长，符合实际吊运情况。

更改上述实例中目标为调运质量最大，利用建立模型进行模拟，得到模拟结果如表2。

表2 调运质量为目标求解

两实例进行对比，可以得到，实例1中保持运输效率最高，但单次运输质量较小，更改目标后的实例2以质量最大为目标，虽增加了单次运输质量，但过程中摆角也有所增加。

该模型能根据实际需求，调整参数，更改目标和约束，得到运输过程以摆角最小、运输效率最高、运输质量最大等为目标的方案，更符合运输过程中的实际情况，对实际运输具有重要指导意义。

4.结语

龙门吊系统在运输过程中的工作状况是多变的，可根据不同需求，修改本文实例中的缆绳最大承载能力、绳长、运输长度、最大加速度等参数，得到最适合的运输方案。本文从力学的角度，结合现有的理论基础，分析不同状态下的受力情况，利用非线性规划建立了摆角非线性规划模型，以此来分析运动过程，具有良好的效果。

对于龙门吊运输问题，利用仿真模拟的方法得到运输过程中最佳配置，对实际运输具有十分重要的参考价值。但由于不同变量之间关系复杂，需要不断加深对运输过程的研究，以实现运输的高效、智能的控制。