基于核心素养的开放式专题复习实践与思考*

☉福建省厦门大学附属实验中学 邱 云 刘金亮

一、专题复习课现状

高三第二轮专题复习时间紧、任务重、起点高、容量大、单调、沉闷、拖课是普遍课堂现象.“课前布置专题练习，做好热身训练；分析往年高考考情，归纳命题热点；精讲高考模拟试题，强调规范答题；提炼数学思想方法，总结题型特征”这“四步走”是教学操作的常态.从瞄准高考靶心、突破难点的角度看，课堂看似饱满.但因老师“满堂灌”，加之知识综合性强，学生在被动听讲中缺少了独立思考的时间和空间，缺少了思维的交流与碰撞，课堂呈现四个弊端：教师讲得辛苦，学生听得疲惫，课堂缺乏生机；“知识、题型、经验”等复习所得理解体会不深，易出现讲过、做过但还是出错的现象；过于注重复习的综合性，忽视基础性、探究性和创造性；缺少课后作业设计，课堂“精华”得不到有效巩固和内化.

在专题复习中如何让不同层次的学生满怀激情、学有所悟、提升素养，值得研究.不久前，笔者在高三复习研讨课上，尝试了开放式专题复习方式.以期用数学核心素养指挥课堂，实现专题复习从“知识、题型”向“能力、素养”转变，从“讲授、经验”课堂向“智慧、生成”课堂转变.

二、开放式教学实践

课例：与椭圆有关的最值问题

1.依纲据本，谋篇布局

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称课标）要求：掌握椭圆的标准方程及简单性质；通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合思想.《全国统一考试大纲》要求：掌握椭圆的标准方程及简单性质，理解数学的思想.本节课复习椭圆中的最值问题，知识交汇多样，解题方法灵活，对逻辑推理和数学运算素养要求较高，是学生普遍畏难的考点.如果单刀直入复习“综合性最值问题”，那么椭圆的定义、方程及其几何性质等基础知识，以及弦长、夹角等常规最值问题就会被疏远.如果重复罗列一遍椭圆的知识点，再讲综合性最值问题，又显得琐碎乏味，散而不专，不利于学生集中精力复习难点.于是，笔者设计了以“椭圆最值”为统领的开放问题，“形散神不散”开展教学.预设教学方案如下：

如图1，已知F1，F2是椭焦点，P为椭圆E上的一个动点.请提出并解决三个以上与椭圆有关的最值问题.

因为经过第一轮复习，学生已初步建立椭圆的知识体系.预计学生能提出以下四个问题：

（1）∠F1PF2的最大值；

（2）△F1PF2面积的最大值；

（3）焦半径|PF1|的最大值和最小值；

（4）过点F2的焦点弦PP′的最值.

图?

图?

等学生提完问题后，教师简单归纳、点拨，然后引出本节课的难点——“四边形面积的最值”：

引导学生分析问题，师生一起优化思路.

思路1：设直线方程为y=kx，点E，F到直线AB的距离分别为d1，d2，则四边形AEBF的面

思路2：设点A，B到直线EF的距离为h1，h2，则四边形

2.放飞思维，构建体系

开放问题抛出后，学生非常兴奋，一会儿互相质疑，一会儿互相补充，疑惑着，领悟着，快乐着，享受着.独立思考，小组合议后，分组展示学生成果.通过观察图形、分析椭圆方程特征，同学们很快提出并解决了预设中的问题（1）至（4），还出乎意料地提出以下三个最值问题：

（6）椭圆内接矩形PQMN面积的最大值.

（7）T为椭圆外一定点，求（|PF1|+|PT|）的最值.

（8）过椭圆内一点作两条互相垂直的直线，交椭圆于A，C，B，D四点，求四边形ABCD面积的最值.

对角线互相垂直的四边形是预设练习内容.学生能提出这样有价值的问题，说明课前有较深入、全面的自主复习.

这个最值问题的“含金量”不亚于老师预设的问题（5）.笔者于是及时改变教学方案，决定和学生一起探究问题（8）.

3.收放有度，突出重点

四边形面积的最值问题是本节课的研究重点.教师要抓住“主线”，收放有度驾驭课堂，引导学生聚焦疑难问题，不让思维的风筝漫天飞舞，使学生通过对难点问题的探求，提升元认知监控水平，发展理性思维和数学运算能力，积累分析和解决综合问题的活动经验.

探究运算思路：当直线斜率存在时，设直线l1：y=kx，

学生提出两种意见：

先换元：令t=k2+1或直接变

让学生根据经验自主展开代数运算和推理，通过类比算法，掌握运算法则，理解运算对象，发展运算素养.

分享解题体会：运算程序相同的几何元素，灵活运用整体代换，减少重复计算；将“最值”问题转化为函数值域问题，关键是选准自变量，构建函数关系式，难点是化简关系式；齐次分式函数的化简通常有两个方向：全化为根式，再对被开方式分离常数或构造二次函数；先换元，转化为较简单的分式函数，再用均值不等式或函数法求最值.

及时巩固，体验成功：让学生独立思考、规范解答预设问题（5），学以致用求解一般四边形面积的最值问题.

4.问题延伸，课后巩固

课标指出：“要丰富作业形式，提高作业的质量，提升学生完成作业的自主性、有效性.”解析几何综合题的特点是：想一想有思路，算一算被堵住，入手容易推进难；课堂上听一听都懂，同样题型考试时还是半懂不懂.因此，在“面积最值”等综合性问题的分析、解决中，只有真正明晰算理、厘清知识的来龙去脉，才能领悟问题的本质，掌握解决问题的要领.“课堂听来终觉浅，绝知此事要躬行”.有效设计课后作业，对巩固课上学习所得不可或缺.

思考：2014年高考全国卷Ⅰ第20题第（Ⅱ）问.自主研究“三角形最值问题”，多角度体验函数思想、化归思想的运用及化繁为简求最值的原理.

三、课后访谈

为了解学生的上课感受，评估教学效果，笔者课后访谈了不同数学水平的同学.以下是有代表性的真实感言.

学生1：这种开放式讨论的复习方式让我能更全身心地投入课堂，给我更充分的空间和时间用于自我发散和听取他人见解，让我对圆锥曲线的最值问题有更全面、多维度的了解.例如同学提出的“求椭圆内接矩形的面积最大值”问题.同学们分别提出了普通方程和参数方程解法，让我对这类问题有了更综合性的体悟.这种授课方式打破了数学复习课枯燥、单一的氛围，能让人在激情与快乐中回顾并巩固“故”，发现“新”.我收获颇丰，很享受这样的上课方式.

学生2：清脆的下课铃响了，我却仍沉浸在“面积最值问题”的思考中.课堂上，老师抛出问题，同学们各抒己见，师生合力归纳出“从角度到弦长，到面积”的最值问题及其求解办法.我在不知不觉中被引入高速的思维运转中，不断思考，不断前行……同学们在老师的启发下，积极主动地解决一个又一个问题，加深了对知识的记忆和理解，原本混乱的“最值知识体系”厘清不少.尤其是课上提到的“化归思想、换元方法”激发了我的新灵感，对解析几何更有信心了.

学生3：大家在思考最值问题时，思维不断发散，由浅及深，分析已知量，寻找最适方法，建立与未知量的联系.将这些最值问题类比、联想，归纳出常规方法，完善思维框架.最开心的是，老师与我们交互提问，共同解惑，互动时的氛围给人以深思、探索的欲望.同学提出的用定义法确定动点P，求“|PF1|+|PT|”的最大值，印象最为深刻.

四、教学反思

1.激活复习教学，焕发课堂生机

进入“深水区”的专题复习，若教学方式单一，加之高考临近带来的心理焦虑，则学生思维的创造性与活力难以激发，复习难以高效.如何调动热情？如何激发思考？如何取舍有度？如何少讲精练？如何讲准练透？让复习课焕发生机，让解题教学理想高效，让数学核心素养悄然落地，对老师的专业水平和教学智慧是个挑战.

本课采用的开放式专题复习，尽力把课堂还给学生，让学生主动提取信息，经历提出问题、互相质疑、解决问题、完善知识、领会方法的历程，让学生在温故知新中不断思考、不断前行，是使课堂回归智慧本色的一种尝试.正如学生1所言：“我收获颇丰.”

2.紧扣核心知识，优化开放教学

问题开放解题教学模式，可以培养学生探究问题、解决问题的综合能力，发展学生的直觉思维能力，因而在教学中应充分发挥学生的主动探求的热情，在活动中达到知识建构的目的.专题复习是知识和能力指向性很强的教学，问题虽可开放设计但要指向考纲，允许学生提出多样问题但要合理筛选.重点研究的问题，应紧扣核心知识.课前，教师要钻研教材、研读课标、研究考题、了解学情，对所要复习的专题涉及的数学知识、方法、思想了然于胸，才便于抓住要领驾驭课堂，实施有效教学，培育核心素养.

数学核心素养的形成和发展是在教师的启发和引导下，学生通过自己的独立思考，或者与他人交流，最终自己“悟”出来的，是一种逐渐养成的思维习惯和思想方法.因此在教学活动中，精心设计合适的教学方案就非常重要.在本课例中，学生提出的问题（6）、（7），虽然让学生重温了椭圆参数方程及定义的灵活运用，展现了学生思维的开阔性，但课堂上花了不少时间进行推理论分式函数式的化简训练会更充分，数学运算与逻辑推理素养的课堂落实会更到位，“好”问题的综合效果可能会更好.

3.立足“四基”“四能”，培养核心素养

《课标》强调，教师应结合相应的教学内容，落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学核心素养的形成和发展.“四基”是培养数学核心素养的沃土.教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升.

开放式复习教学，让不同水平的学生在“四基”“四能”上得到不同的展示和发展.课例中，常见线段、角度、三角形面积的最值，正是分析、求解综合问题的基础；在“最值”问题的探求中，配方、分离常数、整体代换等代数运算，画图分析、几何直观等推理判断，是解决复杂问题的基本技能；将四边形面积转化为三角形面积、弦长问题，运用函数思想求最值，是常用的重要数学思想；研究四边形问题，先从边、角、对角线判断是否为特殊四边形，如果不特殊，可分解为三角形加以研究，是解题实践中总结的活动经验.教学设计和实施要立足“四基”“四能”，以生为本做实学与教的每个环节，注重对学生学习行为和思维过程的评价激励，数学核心素养便会在学习实践中悄然发展.

心理学家布鲁纳曾指出：“教学过程是一种提出问题与解决问题的持续不断的活动.”专题复习教学亦如此.李尚志教授认为，核心素养不是另外贴的标签，而是在教学过程中自然而然“润物无声”.教无定法，只要课堂教学紧紧围绕学习目标，指向核心素养，让学生积极思考，勇于探究，大胆表达，乐于交流，复习课也可精彩纷呈、绽放智慧.证，某种程度上冲淡了对“面积最值”通性通法的学习.如果将这两个“好”问题留做课后思考，对形如“S=