一类直线与圆问题及其解法的探析

李雅萍

(江苏省木渎高级中学 215156)

直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及代数知识，综合性较强.下面先从苏教版必修二课本的一道习题说起.

一、问题呈现

例1 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

二、解法探究

本题考查了直线和圆的位置关系，分析题目会发现，“以AB为直径的圆过原点”这句话，从不同的角度和切入点，可以有不一样的解法.设以AB为直径的圆为圆D，则AB有着三个身份：AB在直线l上，AB是圆C的弦，AB是圆D的直径.

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=x+1或y=x-4.

解出b=1或b=-4后，还要记得检验直线l与圆C相交，这是很多同学解题时都容易忽略的.

联立直线与圆的方程，消去y，得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0②.

角度三从圆系方程出发，用点在曲线上、曲线与方程的关系来解题.由AB的身份一和身份二，除了联立方程组，还可以用圆系方程来解答.若直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则过两公共点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).具体解题过程如下.

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=x+1或y=x-4.

不过，不少同学用解法三求解这道题时，大多中途受阻，一个重要的原因就是“AB为直径”未能转化成“圆心D在直线l上”这一隐含条件.

以上可见，遵循所归纳的思路原理，沿着任何一种思维路径都可解决问题.

三、反思感悟

三个角度的解法中，“以AB为直径的圆过原点”分别与垂径定理、勾股定理、数量积、韦达定理、点在直线上这些知识点联系起来，用了等量代换、设而不求、联立方程组、待定系数法等方法.

罗增儒教授将学会解题分为四个步骤：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析.模仿是对基本模式加以认识并积累的过程；变式是在简单模仿的基础上主动实践；自发领悟是内化解题知识；自觉分析是对解题过程进行自觉反思，使理解进入到深层结构.对于一类问题的探析，首先是基于记忆模仿与变式训练的“模式识别”，然后是基于自发领悟与自觉分析的“算法设计”.数学题多似海，变化万千，但许多问题及其解法在本质上是一样的.如果我们能有效地抓住问题、方法的本质，就能实现举一反三.