例析函数单调性在解题中的应用

2018-08-15 02:12许万成

许万成

(江苏省建湖县第二中学 224700)

函数的单调性是函数的三个重要性质之一，在解决函数问题时有着广泛的运用.对函数的单调性考查是高考的热点，多数情况下是以中档题形式呈现.为了使同学们对函数的单调性有一个更好的认识，笔者根据自己平时的教学，将平时利用函数的单调性来解决的常见题型以例题的形式呈现给读者.

一、确定函数的单调性(区间)

例1 函数f(x)=f(x)=log1/2(x2-4)的单调递增区间为( ).

解析由x2-4>0，得x>2或x<-2.

所以f(x)的定义域为(-,-2)∪(2,+).

令t=x2-4，则y=log1/2t(t>0).

因为t=x2-4在(-,-2)上是减函数，且y=log1/2t在(0,+)上是减函数，所以f(x)在(-,-2)上是增函数，即f(x)单调递增区间为(-∞,-2).

答案:D

当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(-1,1)上递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(-1,1)上递增.

评注(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1.

(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(3)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

评注解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.

例5 (2017天津，理6) 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为( ).

A.a

C.b

解析因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以在x>0时，有f(x)>0，从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数，且在[0,+)上是增函数.a=g(-log25.1)=g(log25.1).20.8<2，又4<5.1<8，则2

评注比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数、形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

例6 如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-,4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ).

解析(1)当a=0时，f(x)=2x-3，在定义域R上是单调递增的，故在(-,4)上单调递增.

评注利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．