一种角磨机转子轴疲劳寿命及可靠性研究

李光尚，刘乾坤

（ 长安大学，陕西 西安 710064 ）

0 引言

角向磨光机简称角磨机，具有携带方便、轻巧灵活等特点，广泛应用于机械制造、采矿、建筑、桥梁、房屋装饰等行业中。本文基于疲劳损伤理论，采用有限元法研究了角磨机转子轴在动载荷工况下的应力分布规律、疲劳寿命及损伤、疲劳可靠性，以及在模态基础上进行谐响应分析，确定转子轴易发生疲劳破坏的截面、各截面的疲劳寿命和安全性，以及谐响应引起疲劳影响的共振状况。

1 静强度

1.1 受力分析

设转子轴额定转速为8 500 r/min，额定功率为2 200 W，其实际工作时转速为4 000 r/min～4 600 r/min，其结构见图1。

图1 转子轴结构

图1中所示的截面从1～6分别为轴承支撑截面、轴承固定端面、轴径过渡圆弧、轴承支撑面、防尘圈左侧、齿轮轴向固定端面。研究转子轴的疲劳寿命主要考虑其在正常工作时的受力分布和扭矩大小。转子轴工作时主要受径向力、轴向力、周向力和扭矩作用。径向力、轴向力和扭矩对转子轴产生疲劳损伤，其受力分布和扭矩作用的力学模型如图2所示。

图2 转子轴受力模型

1.2 有限元模型建立和网格划分

由于转子轴结构复杂以及考虑倒角及圆角对分析结果的影响，因此采用Creo建立有限元分析模型，确保与实际生产图纸结构尺寸相一致。

将三维模型导入ANSYS Workbench中的Geometry中，进行网格划分。网格划分质量的好坏对有限元法分析结果的真实性有较大影响。一般而言网格划分越密集、节点数越多，运算结果就越接近实际值。但是网格密集度和节点数达到一定程度后，计算精度基本不会有明显的差别，同时网格密集度和节点数越大，计算机需要计算的时间就越长。因此只需对较危险界面区域、倒角和圆角区域进行较细的划分，其他区域作一般细划。采用自由划分网格的方法，相关性设为30，相关中心设为中等，网格划分结束后，单元总数为31 524个、节点总数为54 768个。

1.3 材料参数

角磨机转子轴的材料为40 Cr，其材料属性见表1。

表1 转子轴材料属性

1.4 应力和刚度

角磨机转子轴这种几何结构尺寸不大、但结构突变性较大的构件，工作时处于复杂的工况状态且载荷不稳定，需要以工况极限应力为设计应力，在进行仿真求解计算时考虑该极限工况情况下的最大扭矩。通过有限元求解、计算和分析得到该极限扭矩工况下的应力云图，如图3所示。

由经验和理论可知，轴的结构对轴的应力集中影响极大，王浩琦等[12]对电动工具转子轴的过渡圆角进行了详细的讨论。轴的倒角、倒圆、过渡圆弧、最小直径处和尺寸突变处，以及受最大弯扭组合作用截面区域、装配边沿区域所受的应力最大。当这些部位的应力大于疲劳抗力时最易发生疲劳破坏。

图3 转子轴的应力云图

王仁智等学者[13-14]研究表明疲劳破坏是从构件的表面起裂进入次表面导致宏观裂纹直至发生断裂的现象。因此，转子轴的应力分布和表面应力情况显得较为重要，转子轴各危险部位应力分布见表2。由图3和表2可知转子轴的最大应力为226.19 MPa。

轴的刚度不仅影响齿轮的啮合情况还影响整机的震动情况，间接地影响轴的疲劳寿命、损伤和可靠度。经过有限元分析得到该极限应力工况下角磨机转子轴的应变云图，如图4所示。转子轴变形的最大量为0.0 159 mm。

表2 转子轴的各危险处的最大仿真应力

图4 转子轴的应变云图

2 疲劳寿命

2.1 S-N曲线

在Fatigue tools模块中进行疲劳强度及寿命分析时需要提供给ANSYS Workbench基本材料属性以及材料的S-N曲线，即零件（或材料）在某一载荷下发生疲劳破坏所需的循环次数与该载荷构成的曲线。根据文献[15]可知在应力比R=-1时，40 Cr材料的疲劳寿命与应力幅值关系见表3。输入至交变应力属性内，得到材料的S-N曲线，如图5所示。

表3 疲劳寿命与应力幅值的关系

图5 材料的S-N曲线

2.2 疲劳损伤

为了使设计的转子轴具有足够的疲劳抗力、抑制疲劳裂纹，设置疲劳强度系数(fatigue strength factor)Kf为0.8。此处转子轴的设计寿命为3年，故在进行损伤和安全因子计算时设置寿命为937 440 000周次。ANSYS Workbench中提供了三种平均应力修正曲线：Gerber修正曲线、Goodman修正曲线和Soderberg修正曲线。Goodman理论一般较适用于低脆性材料，其理论没有修正压缩平均应力；Soderberg理论过于保守，只能在一定条件下用于脆性材料；Gerber理论为韧性材料拉伸平均应力的拟合提供了很好的算法，拟合较准确[16]。40 Cr具有良好的冲击韧性和较低的缺口敏感性，因此选用Gerber修正曲线进行修正最为稳妥。

角磨机通常用于切割不同物体且多数为手持作业，因此转子轴承受较大交变载荷，导致其破坏形式通常为疲劳破坏。疲劳是构件（或材料）在循环载荷作用下发生了一个不可逆的能量耗散的损伤累积过程[17]。Miner线性累积损伤理论认为构件（或材料）在不同循环交变载荷下造成的疲劳损伤是相互独立的，与疲劳破坏的载荷历史没有关系，且损伤可线性叠加，总损伤累积到某一数值时构件（或材料）才会发生疲劳破坏[18]。本文进行疲劳损伤计算采用Miner线性累积损伤理论，其计算公式如下：

式中 D—疲劳累积总损伤

Ni—应力为σi时发生疲劳破坏循环次数

当转子轴总损伤累积到临界值1时就会引起疲劳破坏[19-20]，造成不可挽回性的经济性损失。

经过workbench求解、计算得到转子轴的总损伤最大值约为0.522，其损伤分布如图6所示。由仿真结果可知总损伤最大值远小于疲劳破坏临界值1，因此在设计寿命内转子轴不会发生疲劳破坏。计算结果表明最小安全系数为1.063，各截面的安全系数具体数值如图7所示，表明在设计寿命内是安全的。

图6 转子轴损伤云图

图7 转子轴安全系数云图

2.3 疲劳寿命

材料40 Cr的屈强比为0.801，其属于软化材料，材料表面一旦有微观裂纹出现，在相同的工况下作业就会引起裂纹扩张速率增加，加快表面破坏，促使疲劳断裂。因而裂纹在形成的过程中疲劳源往往是材料表面，这就需要对各个危险截面区域进行详细的寿命分析。仿真结果获知转子轴的疲劳寿命如图8所示，危险截面区域疲劳寿命如图9所示。

图8 转子轴安全系数云图

图9 各危险截面区域疲劳寿命

由图8和图9可知，转子轴的最小应力循环次数为1.7 972×109周次，完全满足设计寿命的要求。根据疲劳强度理论，当材料的应力循环次数达到1×107周次时仍不发生疲劳破坏，就可以认为该构件（或材料）能够无限次应力循环。理论上可以认为转子轴能够无限次应力循环，转子轴的疲劳寿命曲线如图10所示。

图10 转子轴的疲劳寿命曲线

3 疲劳可靠性

零件的疲劳可靠性是疲劳寿命的重要参考依据，最常用疲劳可靠性的概率密度函数是正态概率密度函数[21]。由文献[22]可知疲劳可靠性疲劳寿命x取对数后服从正态分布。则x的概率密度函数为：

转子轴的疲劳可靠性为：

根据仿真结果可知：在角磨机工况极限状态下，其疲劳寿命约为1.8×109，确保转子轴所承受的应力不变，微调疲劳强度系数得出四组转子轴的疲劳寿命，分别为1.8×109、2.6×109、3.8×109、6.3×109、2.3×109。 因此便可以求解出转子轴寿命达到109周次时的疲劳可靠性[23]。

由仿真分析得出转子轴疲劳寿命达到109次时的可靠度为99.42%，表明转子轴具有足够的疲劳抗力。

4 谐响应分析

周期循环载荷最终导致结构的周期循环响应，循环响应不仅使转子轴发生共振，并且降低材料的疲劳强度最终发生疲劳破坏，以及减少整机使用寿命[24]。在模态求解的基础上选用完全法进行谐响应分析，设置加载频率为0 Hz～16 000 Hz，共分160步，得到了在极限工况条件下因简谐激振力影响引起的动力学响应。

4.1 无阻尼频率响应

无阻尼时对转子轴进行谐响应分析后得到转子轴系统的频率响应曲线图，当频率在2 200 Hz左右时振动最大，振幅为0.70 863 mm。其具体幅值如图11所示。

图11 无阻尼的频率响应

4.2 带阻尼频率响应

一般认为钢结构阻尼比为0.02～0.06[25]，这里取值0.04进行有阻尼谐响应分析后得转子轴系统的频率响应曲线图，如图12所示。

图12 带阻尼的频率响应

有无阻尼时频率响应的振幅与模态时的形变一致，最大位移都出现在2 200 Hz左右。无阻尼时的变形量是带阻尼时变形量的1 000倍，带阻尼的振幅显著下降。带阻尼时的振幅基本没有变化，因而谐响应对转子轴的疲劳寿命响应不大，可以忽略。

5 结语

1）运用ANSYS Workbench对角磨机转子轴进行分析，发现转子轴应力最大部位位于输出端轴承端面过渡圆弧区域，最大应力为226.19 MPa，其应力值远小于材料的许用应力，满足转子轴的静强度要求。

2）基于线性累积损伤理论，对转子轴在动载荷工况下进行了疲劳分析，在设置疲劳强度系数Kf为0.8的情况下，转子轴的最小寿命约为1.8×109，最大损伤值约为0.522，及最小安全系数为1.063。表明转子轴的设计既满足了机械性能要求也减少了材料的消耗。

3）利用Gerber理论修正传统S-N曲线在平均应力不为零时不能直接使用的缺陷，在微调疲劳强度系数Kf的情况下，分析转子轴的疲劳可靠性，其可靠度为99.42%。

4）基于模态对转子轴系统进行谐响应分析表明，带阻尼的谐响应对转子轴系统基本没有影响。表明弯曲和振动对转子轴寿命影响不大。