行星做椭圆轨道运动周期和能量的证明

张海利 侯 恕

(东北师范大学物理学院 吉林 长春 130024)

1 问题引出

在本文的推导中需要引入角动量的知识，角动量是描述物体转动状态的物理量，角动量是参考点到质点的位置矢量与质点动量的叉乘，是矢量．角动量的方向一定垂直于位置矢量与质点的动量所构成的平面，表达式为L=r×mv，大小为L=mvτr,其中L是行星角动量的大小，vτ是垂直于径向方向的速度，r是行星到太阳之间的距离[2]．

2 公式推导

行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，轨道如图1所示，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过的面积相等．

图1 行星角动量沿椭圆轨道运动

设行星的质量为m，行星到太阳之间的距离为r，其在dt时间内扫过的面积为

单位时间内扫过的面积为

(1)

式中L为行星角动量的大小．

如图2所示，A和B分别为行星的远日点和近日点，v1和v2分别表示在远日点和近日点的速度，下面对行星做椭圆轨道运动的周期和能量做一证明.

图2 远日点和近日点及其速度

由图2中的几何关系可知

r1=a+cr2=a-c

其中r1+r2=2a

r1·r2=a2-c2=b2

(2)

行星运动总机械能E等于其动能与势能之和，设行星到太阳之间的距离为r，角动量的大小为L，近日点和远日点的机械能和角动量可表示为

(3)

L=mvr

(4)

将式(4)代入式(3)得

(5)

对式(5)变形得

(6)

r1和r2为方程(6)的解，结合式(2)并由韦达定理有[3]

(7)

(8)

由式(7)推得

(9)

由式(8)推得

(10)

由式(1)推得行星运动的周期为

(11)

式中πab为椭圆的面积．

将式(9)及式(10)代入式(11)得到

(12)

由式(12)可得

则行星做椭圆轨道运动的周期和能量为

其中M是太阳的质量，G是引力常数，a是半长轴．

行星做椭圆轨道运动周期和能量的公式在解决问题中有很大的用处，下面的典型问题就是公式的实际应用．

3 解题应用

3.1 典型问题1

要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r2的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r1的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图3所示，在A点，实际使卫星速度增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次改变卫星速度，使它进入预定轨道运行，试求在椭圆轨道上A点，B点的速度和卫星从A点到达B点所需的时间，设万有引力恒量为G，地球质量为M．

图3 典型问题1题图

分析：以vA和vB分别表示卫星在椭圆轨道上A点和B点的速度，在椭圆轨道上A点和B点的机械能等于动能和势能之和，根据推导出的行星能量的公式列式,有

解得

卫星做椭圆轨道运动的周期

则卫星从A点运动到B点所需时间

3.2 典型问题2

从赤道上C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少．假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6 400 km．若不考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？

图4 典型问题2题图

图5 几何关系分析

由几何关系可知

设发射时导弹的速度为v，则有

代入数据得

v=7.2 km/s