高考数学中的“交汇问题”探讨

谢建明

摘要：文章分析了近年来全国各地的高考现状，从向量与解析几何交汇、向量与数列交汇、概率与数列交汇等方面，对高考数学中“交汇问题”进行探究，希望能够为今后相关问题的研究提供一定的参考依据。

关键词：高考；数学；“交汇问题”；分析引言

数学是高考中极其重要的一门课程，对学生高考成绩有着十分重要的影响。在近年来来的高考数学中，越来越多的出现“交汇问题”问题，如包括导数、数列、向量、解析几何、算法等都可以涉及到“交汇问题”。这一问题不仅注重数学知识的内在联系，还注重知识的综合.它主要考查学生灵活运用知识的能力以及知识的迁移能力。因此，在平常的学习和复习阶段，应该加强对“交汇问题”的分析，从而为提高高中数学教学的效率提供借鉴。

1 向量与解析几何交汇

解析几何在高考中占据了很高的比例，是历年高考必考题型之一。在进行教学和复习的过程中，要强化对向量与解析几何交汇的训练。

已知，x，y∈R，i，j为直角坐标平面内，x，y轴正上方向上的单位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y-2）j，且|a|+|b|= 8.（1）求点M（x，y）的轨迹C方程；（2）过点（0，3）作直线1与曲线C交于点A，B，设向量OP+向量OB，是否存在这样的直线1，使得四边形OAPB是矩形？如果存在，请求出直线1的方程；如果不存在，请说明原因。

解析：（1）根据题意，可以快速地解初轨迹C的方程为x2/12+y2/16=1。（2）因为直线1过点（0，3），若直线1的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点，此时向量OP=OA+OB=0 ，所以0、P重合，与OAPB是矩形矛盾；所以直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=kx+3，代人x2/12+y2/16=1得：（4+3k2）x2+18kx-21=0，则有△>0；又由韦达定理可以得到x1+x2和x1X2的值，又因为向量OP=向量OA+向量OB，所以四边形OAPB是平行四边形。若果存在直线使得四边形OAPB是矩形，则有向量OA垂直向量OB，即有向量OA和向量OB=x1x2+y1y2=0，从而得到（1+k2）x1x20+3k（x1+x2）+9=0，将韦达定理得到的公式带入其中，获得k的值，经检验满足Δ>0，所以存在直线1使得四边形OAPB为矩形。

2 向量与数列交汇

数列是历年高考中的必考题，考察的形式丰富多样，经常与向量结合呈现在考生面前。大量的高考实践证明[2]，考生在考前的学习和复习阶段，缺少对向量与数列交汇的重视，将很容易导致容易分的丢失。

已知一列非零向量an满足a1=（x1，y1），an=（xn，yn）1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）（n≥2）。（1）证明：{|an|}是等比数列；（2）设Qn=（an-1，an），bn=2nQ-1，Sn=b1+b2+……+bn，求Sn。

解析：（1）|an|=1/2√（xn-1-yn-1）2+（xn-1+yn-1）2=√2/2√xn-12+yn-12=√2/2|an-1|（n>2），得到|an|與|an-1|的比为√2/2，且|a1|≠0，说明|an|是等比数列。（2）|an|·|an-1|=（xn-1，yn-1）·1/2（xn-1-yn-1，xn-1+yn-1）=1/2 |an-1|2，所以cos1 an，an-1）=√2/2，因此Qn=π/4，bn-2n·π/4-1=n/2π-1，即Sn=π/2=（1+2+3+……+n）- n=π/4（n2+n）-n。

3 概率与数列交汇

概率在历年高考中也比较常见，经常会出现在应用题中，选择题和填空题也有所出现。概率与数列交汇问题，既要掌握概率知识，又要理解数列知识，只有将概率和数列全方位掌握，才能够更好地解决概率与数列交汇问题。

某种电子玩具按下按键后，会出现红球和绿球.已知按键第一次按下后，出现红球和绿球的概率都是1/2.从按键第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是1/'3，2/3；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是3/5，2/5，记录第n（n∈N1）次按下按键后出现红球的概率为Pn。（1）求出P1的值；（2）证明数列{P1-9/19}是等比数列。

解析：（1）若按键第一次，第二次按下后均出现红球，则其概率为1/2x1/3=1/6；若按键第一次，第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1/2x3/5=3/10.故所求的概率为1/6x3/10=7/15。（2）如果≥2，Pn-9/19与Pn-1-9/19最终计算得到-4/15，因此数列P1-9/19是等比数列，其通项为Pn=1/38（-4/15）n-1+9/19。

4 结语

高考数学中，“交汇问题”比较常见，在历年的高考中均有所涉及，是高考中的重点内容。考生如果想要掌握好“交汇问题”，必须要通过平常的大量练习，只有达到一定的熟练程度时，习题做起来才能够得心应手。

参考文献

[1]赵春祥.函数、导数与不等式的交汇问题例析[J].中学课程辅导：高考版，2014，10（9）：37-39.

[2]王德昌.高考数学试题中的交汇型问题[J].数理化学习（高中版），2014，24（z1）：29-33.