基于浅海水声信道的原模图LDPC码的设计与分析

肖 旻，张泽旺

(厦门理工学院 通信工程系，厦门 361005)

0 引 言

浅海水声信道是目前最为恶劣的通信信道之一，具有时域-频域-空域变参的特点，该特点导致对通信的影响主要有：多径效应带来的码间干扰，造成接收端信号的频率选择性衰落；多普勒频移带来了时间选择性衰落；高噪声和衰减不仅造成接收信号的畸变失真，而且决定了水声信道带宽的有限性[1]。

为了降低水声通信系统的误码率，通常采用卷积码、里德所罗门(reed Solomon，RS)码、Turbo码、低密度奇偶校验(low density parity check，LDPC)码等方案。其中，LDPC码最接近香农限，但随机构造的LDPC码编码复杂度高[2]。因此，CHEN Z.等基于浅海水声信道，研究了编码复杂度低、易于实现的原模图LDPC(protograph-based LDPC，PLDPC)码，提出了设计准则，并利用EXIT(extrinsic information transfer)图对PLDPC码的性能进行分析和预测，研究结果显示，经过设计的PLDPC码能够有效降低水声通信系统的误码率，而且性能比随机构造的LDPC码以及传统的PLDPC码更好[3-4]。

本文基于浅海水声信道，提出了不同于以往文献的设计准则，并且采用更适合于PLDPC码的PEXIT(protograph extrinsic information transfer)分析方法[5]对不同设计准则下的PLDPC码性能进行了理论分析，同时通过系统仿真进一步验证本文所设计的PLDPC码具有更加优秀的纠错性能。

1 PLDPC码的基本原理

原模图是一种由较少变量点和校验点构成的因子图，类似于LDPC码因子图的定义，原模图G=(V,C,E)也是由变量点集合V、校验点集合C、连接变量点和校验点的边集合E组成。原模图中的每条边e∈E分别连接一个变量点vi∈V和一个校验点cj∈C，每条边都被看作一类边[6]。在原模图中允许度为1的变量点和重边存在，因此，e→(vi,cj)∈V×C并不是一一映射的；同时还允许引入删余变量点，这种变量点对应的信息比特不发送到信道中，即在译码时这些变量点没有信道初始信息。

原模图对应的校验矩阵称为基础矩阵B。对于一个包含N个变量点和M个校验点的原模图，其对应的B矩阵即含有M行和N列，矩阵中第i行、第j列的元素bi,j代表第j个变量点vj与第i个校验点ci之间所连接的边数。

PLDPC码的因子图则是由原模图经过“复制-置换”(copy-and-permute)得到，称为“导出图”(derived graph)。图1给出了PLDPC码因子图的生成过程。从图1可以看出，导出图是由基础矩阵和扩展规则决定，因此，基础矩阵和扩展规则是影响PLDPC码性能的2个主要因素。为了便于分析，本文假设所有PLDPC码的扩展规则都为改进型PEG(modified progressive edge-growth，MPEG)算法[7]。

图1 PLDPC码因子图的生成过程Fig.1 Generating procedure of factor graph for a PLDPC code

2 PLDPC码的设计与分析

2.1 浅海水声信道模型

根据文献[8-9]关于浅海水声信道的分析，可以得到信道模型表示为

(1)

(1)式中：y(n)表示接收到的信号；x(n)表示发送信号；ak(n)是离散时间信道系数；w(n)表示复高斯噪声；K为多径数。

进而可得信道的传输函数为

(2)

(3)

(3)式中：H(z)是h(n)的Z变换；Ak和τk分别表示第k条径的幅度衰减和时间延迟；T表示采样周期。

在假设通信带宽为5 kHz，采样频率为10 kHz的条件下，文献[10]给出了以下2种典型的水声信道模型传输函数。

1)负声速梯度信道(negative sound velocity gradient，NSVG)传输函数，表示为

(4)

2)声速为常数的均匀介质信道(invariable sound velocity gradient，ISVG)传输函数，表示为

H(z)=1+0.599 971z-20

(5)

2.2 PLDPC码的设计准则

CHEN Z.等基于浅海水声信道，针对PLDPC码的特点，提出了如下设计准则[4]。

准则A-1：不引入删余变量点；

准则A-2：避免使用度为1的变量点；

准则A-3：原模图中需要包含一些度为2和度为3的变量点。

在准则A的约束下，CHEN Z.等设计出了基础矩阵如(6)式所示的PLDPC码：

行重

(6)

由于浅海水声信道存在严重的码间干扰，这与磁盘存储系统中的部分响应(partial response，PR)信道很相似。研究PR信道下PLDPC码设计问题的T.V.Nguyen等发现：为了降低PLDPC码的门限值(threshold)，原模图中需要包含一些度为1和度为2的变量点[11]。受该思想启发，本文在(6)式的基础上，引入了度为1的变量点(即去掉了最后一列中的一个1)，得到原模图如(7)式所示的PLDPC码。理论分析和性能仿真均表明，引入度1的变量点后，PLDPC码在水声信道下的性能有所提升。(将在后续的2.3节及3.2节中加以验证)

行重

(7)

在设计LDPC码时，多篇文献都指出：集中化校验节点的度，有利于提高LDPC码性能[12-13]。这里所指的“集中化校验节点的度”是指让校验节点的度尽可能一致，表现在校验矩阵中，就是让每行的重量尽可能相同。因为PLDPC码是LDPC码的一个子类，所以，本文借鉴这一思想，在(7)式的基础上，降低了第4行的行重，让基础矩阵的行重均匀化，即让每行的重量尽可能相同，发现这样能进一步提高PLDPC码的性能。(将在后续的2.3节及3.2节中加以验证)

行重

(8)

综合上述分析，本文针对浅海水声信道，提出如下PLDPC码设计准则。

准则B-1：不引入删余变量点；

准则B-2：原模图中需要包含一些度为1和度为2的变量点；

准则B-3：基础矩阵行重均匀化，即让每行的重量尽可能相同。

可以看出，本文提出的设计准则与文献[4]提出的设计准则只有第1条相同，其他均不同，关于准则B-2和准则B-3的有效性将在下文中进行验证。

2.3 基于PEXIT方法的理论分析

与传统LDPC码类似，PLDPC码也可以通过分析门限值来预测其纠错性能。一般情况下，门限值越低，纠错性能越好。文献[4]采用了EXIT方法分析PLDPC码的门限值，但该方法只适用于传统LDPC码，无法分析PLDPC码特有的删余变量点和度1变量点，也无法分析原模图中的边连接关系[5]。因此，本文采用专门针对PLDPC码的PEXIT方法[5]来分析其门限值，以期获得更为准确的性能预测结果，该方法已在加性高斯白噪声(additive white Gaussian noise，AWGN)信道、PR信道等多种信道中得到应用[7, 11]。在浅海水声信道下，码间干扰是造成信号衰减失真的主要原因，当只考虑码间干扰时，水声信道模型(1)式中的ak(n)与无关n且满足瑞利分布[8]。此时的水声信道模型就满足文献[14]中“遍历型衰落(ergodic fading)信道模型”的条件，在该条件下的PEXIT分析方法主要步骤如下所述[14]。

首先明确5种互信息(mutual information, MI)的定义：IAv(i,j)表示从校验点ci输入到变量点vj的LLR(log-likelihood-ratio)与第j个编码比特之间的先验MI(A-priori MI)；IAc(i,j)表示从变量点vj输入到校验点ci的LLR与第j个编码比特之间的先验MI；IEv(i,j)表示变量点vj输出给校验点ci的LLR与第j个编码比特之间的外部MI(extrinsic MI)；IEc(i,j)表示校验点ci输出给变量点vj的LLR与第j个编码比特之间的外部MI；Iapp(j)表示变量点vj的后验LLR与第j个编码比特之间的后验MI(A-posteriori MI)。

基于“遍历型衰落信道模型”的PEXIT分析方法步骤如下。

步骤1计算变量点vj初始LLR的方差

(9)

步骤2计算IEv(i,j)和IAc(i,j)

IEv,q(i,j)=Φ(bi,j)·

(10)

(11)

IAc(i,j)=IEv(i,j)

(12)

步骤3计算IEc(i,j)和IAv(i,j)

IEc(i,j)=Φ(bi,j)·(1-

(13)

IAv(i,j)=IEc(i,j)

(14)

步骤4计算Iapp(j)

(15)

(16)

步骤5门限值估计

如果对于所有j=1,2,…，N，均有Iapp(j)=1，则此时的信噪比(Eb/N0)为该PLDPC码在此信道下的门限值，否则返回步骤2继续迭代，当达到最大迭代次数Tmax时，增大信噪比，直到求出门限值为止。

利用PEXIT方法，分析了上述各种PLDPC码在水声信道下的门限值(计算时，取Tmax=1 000，Q=1 000)，如表1所示。表1中的3种PLDPC码分别用PLDPCSWA1，PLDPCSWA2和PLDPCSWA3表示，对应的基础矩阵分别为BSWA1，BSWA2，BSWA3。从表1可以看出，PLDPCSWA2的门限值比文献[4]所设计的PLDPCSWA1低，说明加入度为1的变量点，能够提高PLDPC码的性能，从而验证了本文提出的准则B-2；而PLDPCSWA3比PLDPCSWA2的门限值更低，说明基础矩阵行重的均匀化能够带来性能增益，从而验证了本文提出的准则B-3。

表1 PLDPC码在浅海水声信道下的门限值

3 基于浅海水声信道的PLDPC码性能仿真

3.1 仿真系统框图及参数

为了仿真不同设计准则下得出的PLDPC码在浅海水声信道下的性能，搭建了通信系统如图2所示。其中，浅海水声信道采用了上述的NSVG和ISVG 2种模型分别进行仿真。为了更好地与文献[4]所提出的设计准则进行对比，本文设计的PLDPC码采用与文献[4]相同的码长和码率，分别为2 048和0.5。置信度传播(belief propagation, BP)译码的最大迭代次数也与文献[4]一致，设置为20次。每个仿真点都是在找到50个错误码字后结束，以保证仿真数据的统计量。

图2 浅海水声通信系统结构框图Fig.2 Schematic block diagram of shallow water acousticcommunication system

3.2 仿真性能分析

不同基础矩阵构造出的PLDPC码在NSVG和ISVG 2种信道下的性能分别如图3，图4所示(基础矩阵对应关系请参见表1)。从性能仿真图中可以看出，在绝大部分信噪比情况下，PLDPCSWA2均好于文献[4]所设计的PLDPCSWA1，说明在水声信道下，引入度1的变量点有利于提高PLDPC码的纠错性能，也验证了本文所提出的准则B-2的有效性。而无论是在NSVG信道还是ISVG信道下，PLDPCSWA3都具有比PLDPCSWA2更好的性能，在误码率(bit error rate，BER)为10-5时，编码增益比PLDPCSWA2提高了约0.2 dB、比PLDPCSWA1提高了约0.4 dB，说明本文提出的准则B-3能够进一步提高纠错性能。

图3 PLDPC码在NSVG信道下的仿真性能Fig.3 Simulation performances of PLDPC codes under NSVG channel

图4 PLDPC码在ISVG信道下的仿真性能Fig.4 Simulation performances of PLDPC codes under ISVG channel

4 结束语

针对浅海水声信道，本文提出了PLDPC码的设计准则，与已有的设计准则不同之处在于：强调了“原模图中需引入度为1的变量点”和“基础矩阵行重均匀化”2个准则。通过PEXIT方法的分析，验证了本文设计的PLDPC码具有更低的门限值。仿真结果也显示，本文设计的PLDPC码在浅海水声信道下具有更好的纠错性能。