面向脑MR影像分割与偏置场修正的FCM方法

陆海青，葛洪伟

(1.江南大学 轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122；2.江南大学 物联网工程学院，江苏 无锡 214122)

0 引 言

磁共振成像(magnetic resonance imaging，MRI)作为一种十分重要的医学成像技术，已成为医疗诊断、手术规划、三维重建等环节中必不可少的技术手段，而脑MR影像的分割是磁共振成像研究中的一个热点问题。脑组织通常被划分为灰质(gray matter，GM)、白质(white matter，WM)、脑髓液(cerebro-spinal fluid，CSF)3部分，准确有效地实现脑组织的分割将会为脑部疾病的准确诊断带来极大的帮助。由于脑组织结构的复杂性以及受医学成像过程中部分容积效应等因素的影响，使得获取到的图像中往往呈现出含噪较多、对比度低、灰度分布不均匀、目标边界不清晰等特性[1]，因而给脑MR影像的准确分割带来了极大的困难。

针对脑MR影像的分割方法有很多，如期望最大化[2-3]、水平集[4-5]、模糊聚类[6-18]等，其中，模糊聚类是较为常用的一种方法。模糊C-均值(fuzzy C-means，FCM[6])算法作为模糊聚类中最为经典的方法，在医学影像分割方面具有广泛的应用。与传统的硬聚类方法不同，FCM算法采用模糊隶属度来评估像素归属于某一类的程度，从而避免了将像素归类一刀切的问题。然而传统的FCM算法中并不包含像素的空间邻域信息，因而对噪声十分敏感，并且FCM算法无法解决脑MR影像中的灰度不均匀性问题。为此，国内外诸多学者进行了相关研究以弥补这些不足。

Ahmed等[7]提出了一种基于空间约束的FCM(fuzzy C-means with spatial constraints，FCM_S)算法，该算法通过在FCM算法中引入空间惩罚项，以调节邻域像素对中心像素的影响。Chen和Zhang[8]结合邻域像素的灰度均值与中值，提出了一种基于邻域均值和中值的空间FCM算法(FCM_S1，FCM_S2)，其分别对含有高斯噪声和椒盐噪声的图像具有较好的分割效果。Cai等[9]提出了一种快速广义FCM算法(fast generalized fuzzy C-means algorithm，FGFCM)，结合像素的灰度与空间特征，并设计出一种改进的线性加权和图像，以此代替原始图像进行聚类。Krinidis等[10]提出了一种模糊局部信息C-均值(fuzzy local information C-means，FLICM)算法，通过构造一空间模糊因子，并将其嵌入到原始FCM算法中，以反映图像像素的空间邻域信息。此外，近些年还涌现出一些新的结合其他理论的FCM方法[11-12]。

以上改进算法在一定程度上克服了传统FCM算法未引入空间信息的缺陷，对无噪图像或噪声水平较低的图像具有较好的分割效果。然而对于复杂背景下的图像而言，这些算法的分割精度仍不够高，尤其是医学领域常用的脑MR影像，其中往往包含大量的噪声、偏置场等复杂因素[1]，这些算法大多难以有效地分割较强噪声背景下的脑MR影像，且无法消除其中存在的偏置场。

在偏置场修正问题的研究中，国内外学者提出了许多基于模糊聚类的经典方法。Pham等[13]提出了一种自适应模糊C-均值算法(adaptive fuzzy C-means algorithm，AFCM)，结合了脑MR影像中的偏置场信息，并以乘性偏置场来描述图像灰度的不均匀性，在实现模糊分割的同时很好地消除了图像中的灰度不均匀性。Liew等[14]提出了一种自适应空间模糊聚类算法(adaptive spatial fuzzy clustering algorithm，ASFCM)，该算法采用B-样条曲面建立偏置场模型并引入空间约束项，有效地抑制了MR影像中的不均匀伪影。Li等[15]提出了一种连贯局部灰度聚类(coherent local intensity clustering，CLIC)算法，通过引入像素的邻域灰度来构建能量最小化模型，实现了MR脑组织的分类与偏置场的估计。近年来，Li等[16]提出了一种新的能量最小化模型(multiplicative intrinsic component optimization，MICO)，通过构造新的能量泛函，将脑MR影像的先验信息加入其中，实现了偏置场的修正与脑MR影像的自动分割。

上述方法能够有效地消除脑MR影像中的偏置场，从而克服灰度不均匀性对脑MR影像分割的影响。然而这些方法大多对噪声或异常点较为敏感，并不能很好地消除脑MR影像中的噪声，尤其是当图像的噪声强度较大时，算法的分割质量将明显下降，因而不具备良好的抗噪性能。

针对以上不足，本文将同时考虑脑MR影像的分割与偏置场的修正问题，综合利用图像中各像素的空间距离与局部灰度信息，设计出一新的多局部信息模糊因子，以提高像素灰度计算的精确度；随后利用图像的非局部信息构造出非局部权重项，进一步提升算法的抗噪性能；同时，对观测图像中的偏置场进行建模，并与FCM算法相结合，使FCM算法的目标函数中包含偏置场信息，以便对偏置场加以估计与修正，进而提出一种新的FCM方法。对脑MR影像的实验结果表明，本文方法能够有效地实现脑MR影像的分割与偏置场修正。

1 相关理论基础

1.1 FCM算法

考虑由n个p维样本组成的数据集X={x1,x2,…,xn}∈Rn×p，FCM算法旨在对目标函数JFCM进行最小化，从而实现对样本数据的模糊划分，即

(1)

(2)

(3)

反复迭代(2)—(3)式，直至FCM算法收敛。

1.2 FLICM算法

传统FCM算法中未引入空间约束信息，其分割结果不够准确。为此，Krinidis等[10]提出一种模糊局部信息C-均值(fuzzy local information C-means，FLICM)算法，通过在目标函数中引入空间模糊因子，以提高算法的分割精度。其目标函数为

(4)

(4)式中：xi为像素i的灰度值；Gki表示空间模糊因子，其具体形式为

(5)

(5)式中：Ni表示以像素i为中心的局部邻域；l为局部邻域Ni中的像素；dil为像素i,l之间的空间距离。相比于传统FCM算法，FLICM算法能够取得更优的分割性能，且能够在一定程度上减少噪声的影响，然而该算法对噪声的鲁棒性还不够强[17]，因此，对于较强噪声背景下的图像，其分割效果仍不够好。此外，对于临床医学中常用的脑MR影像而言，FLICM算法无法消除其中存在的灰度不均匀性。

2 本文方法

2.1 多局部信息模糊因子

首先，定义局部灰度相似性测度Cl，用于表示局部邻域内各像素灰度分布的均匀程度，其具体形式为

(6)

(7)

其次，为衡量局部邻域内各像素对于中心像素灰度的贡献程度，将其定义为

(8)

(9)

由(8)—(9)式可以看出，当局部邻域内像素灰度变化较为平缓时，γil应具有较大的值，表明该邻域像素对中心像素具有更大的贡献；相反地，对于局部邻域内像素灰度发生突变的区域，邻域像素应具有更小的贡献，因此，γil应尽可能小，采用指数函数可使γil的值迅速下降趋近于0，从而更好地调节邻域像素与中心像素之间的关系。

为统一数据的量纲，将γil作归一化处理，同时给出本文中局部灰度项的具体定义，表示为

(10)

(11)

(12)

(13)

(13)式中，

(14)

基于ESP语料库的学术英语词汇学习法的有效性研究 ………………………………… 刘 萍 刘座雄（3.54）

2.2 非局部权重的引入

现有的结合空间信息的模糊聚类方法大多仅利用了图像的局部信息，在给定的局部邻域内能够取得较好的分割效果。而当图像的噪声强度较高时，噪声点周围的像素灰度分布通常是不均匀的，此时仅考虑空间局部信息是不够的[18]。

Buade等[19]提出一种非局部均值(non-local means，NLM)算法，其基本思想是利用图像信息的冗余性和自相似性，计算以当前像素为中心的局部图像块与基准图像块之间的相似性权重，以此来衡量2图像块中对应像素之间的相关性。该算法已广泛应用于图像去噪领域[20]，对于强噪声图像具有良好的去噪效果。

为进一步增强FLICM算法的抗噪性，本文借鉴NLM算法的思想，在FLICM算法中引入非局部权重，并将其融合至目标函数中，使其应用于脑MR影像的分割中。其目标函数的具体形式为

(15)

(15)式中，

(16)

(17)

非局部权重根据图像块之间的相似性权重而非单一像素来衡量像素的相关性，对于图像中距离较远、不在局部窗口内的像素也能够准确地计算，即相似性高的像素具有较高的非局部权重，反之亦然。引入非局部权重后的改进方法充分利用了图像中的非局部信息，且更能真实地反映像素与聚类中心之间的关系，进而对噪声具有更强的鲁棒性。

2.3 偏置场的修正

在脑MR影像处理中，偏置场的修正往往是最为关键的问题[21]。由成像设备实际采集到的脑MR影像中常包含不同程度的偏置场，其在同一组织内部呈现出平滑且缓慢变化的灰度不均匀性[21]。为消除脑MR影像中的偏置场，可对其进行建模。令Y为观测图像，X为真实图像，B为偏置场，N为加性噪声，则偏置场模型[4]可表示为

Y=X·B+N

(18)

实际应用中为简化计算，常忽略噪声的影响，同时需对(18)式两边取对数，将乘性偏置场转换成加性偏置场，即

(19)

为解决FLICM算法对灰度不均匀性敏感的问题，本文在目标函数中引入偏置场模型，在完成脑MR影像分割的同时实现对脑MR影像中偏置场的修正，从而消除脑MR影像中存在的灰度不均匀性。

根据以上分析，综合(6)—(19)式，得到本文算法的目标函数为

(20)

(21)

vk=

(22)

(23)

2.4 算法步骤

综上所述，本文算法的具体步骤如下。

步骤1设置聚类数c，模糊指数m，迭代终止阈值ε，最大迭代次数iter_max，当前迭代次数t=1；

步骤5根据(21)式计算新的隶属度矩阵U；

步骤6根据(22)式计算新的聚类中心V；

3 实验结果与分析

3.1 模拟脑MR实验

首先对模拟脑MR影像(brainweb64和brainweb97)进行分割实验。分别给2幅影像添加5%的噪声与20%的偏置场(N5F20)、5%的噪声与40%的偏置场(N5F40)以及7%的噪声与40%的偏置场(N7F40)，采用上述4种算法进行分割，结果如图1—图6所示。

图1 模拟脑MR影像(brainweb64)在5%噪声20%偏置场(N5F20)下的分割结果对比Fig.1 Comparison of segmentation results of the simulated brain MR image (brainweb64) with 5% noise and 20% bias field (N5F20)

图2 模拟脑MR影像(brainweb64)在5%噪声与40%偏置场(N5F40)下的分割结果对比Fig.2 Comparison of segmentation results of the simulated brain MR image (brainweb64) with 5% noise and 40% bias field (N5F40)

通过对比可以看出，FCM算法的分割结果图中包含的噪声点最多，且在噪声强度较大时更为明显，这是因为FCM算法的目标函数中不包含任何空间邻域信息，无法消除噪声，这表明FCM算法无法有效地分割含噪脑MR影像；FLICM算法在目标函数中添加了包含空间局部信息的模糊因子，更多地考虑了像素的空间信息，抗噪性能有所增强，然而该算法分割出的脑组织结构细节信息丢失较为严重，产生了过平滑现象，且分割结果受偏置场影响较大，因此，FLICM算法无法对模拟脑MR影像取得良好的分割效果；MICO算法在灰度不均匀性去除方面取得了一定的效果，但其未能有效地抑制噪声，这一点在图3d中表现得尤为明显，这表明MICO算法在含噪条件下的分割效果欠佳；而本文算法在有效抑制噪声的同时能够保持更多的细节信息，并能很好地修正脑MR影像中存在的偏置场，相较于其他3种算法而言，与标准分割结果更加接近，因此，本文算法对不同强度噪声和偏置场环境下的模拟脑MR影像均能获得更优的分割质量。

图3 模拟脑MR影像(brainweb64)在7%噪声与40%偏置场(N7F40)下的分割结果对比Fig.3 Comparison of segmentation results of the simulated brain MR image (brainweb64) with 7% noise and 40% bias field (N7F40)

图4 模拟脑MR影像(brainweb97)在5%噪声与20%偏置场(N5F20)下的分割结果对比Fig.4 Comparison of segmentation results of the simulated brain MR image (brainweb97) with 5% noise and 20% bias field (N5F20)

图5 模拟脑MR影像(brainweb97)在5%噪声与40%偏置场(N5F40)下的分割结果对比Fig.5 Comparison of segmentation results of the simulatedbrain MR image (brainweb97) with 5% noise and 40% bias field (N5F40)

本文采用杰卡德相似性系数(Jaccard similarity，JS[1])作为算法分割性能的客观评价指标，其定义为

(24)

(24)式中：S1表示由分割算法得到的结果；S2表示标准分割结果(ground truth)。JS反映了图像的分割精度，其值越大，分割精度越高，所得分割图像就越接近标准分割结果。

图6 模拟脑MR影像(brainweb97)在7%噪声与40%偏置场(N7F40)下的分割结果对比Fig.6 Comparison of segmentation results of the simulatedbrain MR image (brainweb97) with 7% noise and 40% bias field (N7F40)

表1给出了各算法对不同组织(灰质、白质、脑髓液)的JS值对比，其中，加横线部分为最优值。由表1可以看出，对于同一组织，在图像噪声和偏置场强度固定的条件下，本文算法的JS值基本均高于其他3种算法，且随着噪声和偏置场强度的增加，各算法的JS值有所下降，而本文算法仍能取得相对较高的JS值，这表明本文算法相比于其他几种算法具有更优的分割性能。

表1 各算法对不同组织的JS值

为进一步评价本文算法的效果，采用划分系数(partition coefficient，Vpc[24])与划分熵(partition entropy，Vpe[24])对算法的聚类性能进行定量评价，分别定义为

(25)

(26)

(25)—(26)式中：uki表示第i个像素对于第k类的模糊隶属度；n为像素总数。由(25)—(26)式可知，Vpc和Vpe反映了划分矩阵的模糊程度，Vpc越大，计算出的划分矩阵模糊性越小，像素的归类越明确，分割效果越好；相应地，Vpe越小，算法的聚类性能越好。

表2给出了4种算法对模拟脑MR影像的划分系数Vpc和划分熵Vpe，其中加横线部分为最优值。从表2中可以看出，与其余3种算法相比，本文算法具有更高的Vpc值和更低的Vpe值，这表明，由本文算法计算得到的隶属度矩阵划分性能更好，聚类准确性更高，且对于不同程度噪声和偏置场背景下的图像均能取得良好的分割效果。因此，本文算法在聚类分割性能上具有一定的优越性。

表2 各算法的划分系数和划分熵(Vpc/Vpe)

3.2 真实脑MR实验

对真实脑MR影像(axial和coronal)进行实验。2幅影像中均包含一定程度的噪声和偏置场。分别采用4种算法对其进行分割，实验结果如图7，图8所示。

图7 真实脑MR影像(axial)的分割结果对比Fig.7 Comparison of segmentation results of the real brain MR image (axial)

图8 真实脑MR影像(coronal)的分割结果对比Fig.8 Comparison of segmentation results of the real brain MR image (coronal)

从图7，图8中可以看出，FCM算法的分割结果图中包含大量的噪声点，对噪声十分敏感，并且FCM算法中未引入偏置场模型，无法消除脑MR影像中存在的灰度不均匀性，因此，FCM算法对于脑MR影像中的噪声和偏置场均显得无能为力；FLICM算法虽能一定程度上减弱噪声的影响，但其未能克服脑MR影像中偏置场的影响，这表明FLICM算法难以有效地分割含偏置场的脑MR影像；尽管MICO算法较好地去除了图像中的灰度不均匀性，然而其分割结果图中仍包含较多的噪声点，抗噪性能较差，这表明MICO算法对含噪脑MR影像的分割效果不佳；而本文算法中采用了多局部信息模糊因子与非局部权重，有效克服了噪声的影响，且对脑组织细节的分割更为合理，很好地平衡了噪声抑制和细节保持之间的关系，同时融合了偏置场模型，有效修正了脑MR影像中的偏置场，且修正后的脑组织灰度更加均匀。因此，本文算法在视觉质量和分割性能方面均优于其他3种算法。

为更好地评价本文算法对真实脑MR影像中偏置场的修正效果，有必要作进一步的定量分析。对于真实脑MR影像而言，在实际的临床应用中一般不存在完全准确的分割结果作为参照。因此，为能客观验证本文算法的性能，本文选取变异系数(coefficient of variations，CV[1])与联合变异系数(coefficient of joint variation，CJV[1])2个评价指标对真实脑MR影像进行客观性能评价，分别定义为

(27)

(28)

(27)—(28)式中：σT表示某一脑组织T的灰度标准差；μT表示脑组织T的灰度均值;σGM表示灰质的灰度标准差;σWM表示白质的灰度标准差，μGM表示灰质的灰度均值;μWM表示白质的灰度均值。由(27)—(28)式可知，CV与CJV能够很好地反映出脑组织的分割质量以及偏置场的修正效果[1]，其值越小，脑组织中灰度不均匀性的去除效果就越好，修正后的偏置场更加光滑均匀，表明算法性能更优。

根据前文分析可知，FCM算法和FLICM算法基本不具备修正偏置场的能力，因此，仅将本文算法与MICO算法进行对比，以测试偏置场修正的性能。表3给出了各算法对偏置场修正结果图的CV与CJV值，其中加横线部分为最优值。从表3中可以看出，相比于MICO算法，本文算法对2幅真实脑MR影像均取得了更小的CV与CJV值，这表明本文算法能够有效地消除脑组织中的灰度不均匀性，在偏置场修正方面具有良好的性能。

表3 各算法对偏置场修正图的CV和CJV值

3.3 改进算法的有效性验证实验

本文分别采用多局部信息模糊因子、非局部权重以及偏置场模型进行了算法改进。为进一步验证这3部分的有效性，在原FLICM算法的基础上，分别引入多局部信息模糊因子、非局部权重以及偏置场模型，使用模拟脑MR影像(brainweb64，N5F20)和真实脑MR影像(axial)进行分割实验，以对比每一部分各自的效果。实验结果如图9、图10所示。

图9 本文算法中的3部分改进对含有7%噪声与40%偏置场(N7F40)的模拟脑MR影像(brainweb64)的分割结果对比Fig.9 Comparison of segmentation results of three respective improvements of the proposed algorithm on the simulated brain MR image (brainweb64) with7% noise and 40% bias field (N7F40)

图10 本文算法中的3部分改进对真实脑MR影像(axial)的分割结果对比Fig.10 Comparison of segmentation results of three respective improvements of the proposed algorithm on the real brain MR image (axial)

从图9和图10中可以看出，与FLICM算法相比，仅添加多局部信息模糊因子的分割结果能够保持相对较多的图像细节信息，但其中仍具有较为明显的灰度不均匀性现象；仅添加非局部权重的分割结果相对FLICM算法而言更加平滑，孤立的噪声点相对更少，但其中出现了一些细节信息丢失，且仍存在灰度不均匀性现象；仅添加偏置场模型的分割结果尽管一定程度地克服了灰度不均匀性问题，但其中包含的图像噪声最多，缺乏一定的抗噪性能；而本文算法的最终分割结果则综合了以上各部分的特点，获得了更为良好的分割效果。

3.4 运行时间对比实验

表4给出了各算法分割4幅脑MR影像(分别为模拟脑MR影像(brainweb64，N5F20，217×181)、模拟脑MR影像(brainwe97，N7F40，217×181)、真实脑MR影像(axial，216×157)、真实脑MR影像(coronal，157×141))的运行时间，其中加横线部分为最优值。从表4中可以看出，与其他3种算法相比，本文算法的运行效率相对较低，这是由于在本文算法中引入了非局部权重，其需在给定的搜索窗口内进行计算，且搜索窗口越大，计算时间越长，因而算法的计算效率有所下降。然而本文算法能够对不同脑MR影像取得良好的分割效果、抗噪性能以及偏置场修正性能，因此，本文算法在脑MR影像分割及偏置场修正方面仍具有一定的参考价值。

表4 各算法的运行时间对比

3.5 算法收敛性分析

本节通过实验来对本文算法的收敛性加以分析与验证。实验中采用2组具有代表性的UCI数据集(iris，glass)，以2幅脑MR影像(模拟脑MR影像(brainweb64，N7F40)和真实脑MR影像(axial))进行验证，其中，数据集iris包含4维特征、150个样本、3个类别，数据集glass包含9维特征、214个样本、6个类别。实验中分别对各数据集进行10次聚类并取其最优结果，以降低随机初始化聚类中心所产生的影响。实验中模糊指数m=2，最大迭代次数iter_max=500。

图11给出了本文算法对各数据集聚类的目标函数值随迭代次数的变化曲线。从图11中可以看出，在2个UCI数据集上经过5～7次迭代后，算法的目标函数值基本趋于稳定；在2幅脑MR影像上经过约15次迭代后，算法的目标函数即可趋于某一定值，这表明，本文算法能够在有限的迭代次数内取得收敛。同时对于不同的数据集而言，本文算法能够在少量的迭代次数后实现目标函数值的大幅下降，具有较好的收敛性。

4 结 论

本文提出了一种面向脑MR影像分割与偏置场修正的改进FCM方法，一方面引入了多局部信息模糊因子与非局部权重，既能有效抑制噪声又能保留图像中的结构信息；另一方面融合了偏置场模型，在分割脑MR影像的同时修正了图像中的偏置场。大量实验结果表明，该方法在主客观评价指标上均优于其他几种对比算法，在分割质量、抗噪能力以及偏置场修正性能方面均具有一定的优势。然而，非局部权重的引入使得算法的计算复杂度有所增加，且分割结果中仍存在一定程度的细节信息丢失。因此，下一步将致力于研究如何在保持良好分割性能的同时提高算法的运行效率，并力求在噪声平滑与细节保持之间取得更好的平衡。

图11 本文算法对各数据集的收敛曲线Fig.11 Convergence curves of the proposed algorithm on different datasets