一类无理函数值域的求解策略

展晨

无理函数的值域问题是高中数学竞赛以及高校自主招生的热点问题，题目入口较宽，方法灵活多样，但学生处理起来比较困难，是代数学中比较经典的一类问题，本文以一类基础的无理函数为例，介绍几种求解此类函数值域的方法.

题目函数y=f（x）=2x-3+12-2x的值域.

简单分析题目，题目中给出的函数不是基本初等函数，如何处理并简化根式，是解决本题的关键.

一般地，对于函数y=ax+b+cx+d，当ac>0时，函数在定义域内是单调函数，求函数值域相对容易一些，当ac<0时，求解时有一定难度.实际上，当ac<0时，原式可化为y=ax-b+cd-x（a>0，c>0，b

一、导数法

易求函数的定义域为[3，6]，利用函数的单调性求函数的值域，是高中阶段求函数值域最有效的方法之一，导数作为研究函数的一种有效工具，正确利用导数判断函数的单调性，是导数法的关键.

函数y=f（x）=2x-3+12-2x的定义域为[3，6]，求导得y′=1x-3-112-2x，

由y′≥0得，1x-3≥112-2x，解得x≤5；由y′≤0得，1x-3≤112-2x，解得x≥5；结合定义域得，函数f（x）在[3，5]上单调递增，在[5，6]上单调递减，当x=5时，函数取得最大值ymax=32；ymin=min{f（3），f（6）}=min{6，23}=6，故函數f（x）的值域为[6，32].

导数是研究函数单调性、极值的一种有效工具，是解决此类问题的基本方法.

二、不等式法

无理式的难点在于如何处理根式，利用柯西不等式得到根式，可求出本题的最大值.

（2+1）[（2x-6）+（12-2x）]≥（4x-12+12-2x）2，即（2x-3+12-2x）2≤18，

则2x-3+12-2x≤32，

当且仅当2x-62=12-2x1时，即x=5时，等号成立；

注意到当x≥0，y≥0时，x+y≥x+y，

当且仅当xy=0时等号成立；

原式可化为y=22x-6+12-2x≥2x-6+12-2x≥（2x-6）+（12-2x）=6，当且仅当2x-6=0，即x=3时等号成立（此时要注意到两处不等式等号成立的条件相同），故函数f（x）的值域为[6，32].

三、三角换元法

考虑利用sin2θ+cos2θ=1，简化根式，原式可化为y=2x-3+26-x，考虑到（x-3）2+（6-x）2=3，设x-3=3cosθ，6-x=3sinθ，θ∈0，π2，则y=23cosθ+6sinθ，结合三角函数图像易得，当θ=π2-arcsin63时，ymax=32，当θ=π2时，ymin=6，故函数f（x）的值域为[6，32].

四、向量法（几何法）

一般地，无理函数可通过适当的配凑，构造成两个向量的数量积.

原式可化为y=2x-3+26-x，（x-3）2+（6-x）2=3，联想到原式可转化为两个向量的数量积.

设a=（2，2），b=（x-3，6-x），则y=a·b，设〈a，b〉=θ，注意到|b|=3，x-3≥0，6-x≥0，如图所示，b可看作起点在坐标原点，终点轨迹是以坐标原点为圆心，3为半径的第一象限及x，y轴正半轴上的圆弧，易知当a与b共线时，ymax=a·b=|a||b|cosθ=6×3cos0=32，又a与x轴正半轴的夹角α<π4，故当b终点在y轴正半轴时，即ymax=32x-3=0，x=3时，θ取得最大值，此时cosθ取得最小值，ymin=a·b=6.

故函数f（x）的值域为[6，32].

五、解析几何法

考虑根式的平方和可以消去x，直接设u=2x-3，v=12-2x，则u2=4x-12，v2=12-2x，消x得，u2+2v2=12，即u212+v26=1，其中u≥0，v≥0，原题转化为，在此条件下，求y=u+v的值域.方程u212+v26=1，u≥0，v≥0的曲线为椭圆在第一象限的部分（包含与u轴，v轴正半轴的交点），y=u+v转化为v=-u+y，即斜率为-1的直线，通过平移可得当且仅当直线与曲线相切时，y取得最大值，易得ymax=32，当直线过椭圆上顶点时，y取得最小值，此时u=23，ymin=6.故函数f（x）的值域为[6，32].