三角形中的不等问题举例

■山东省枣庄二中 仲崇辉

以解三角形为载体,考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或求值的大小,要求同学们有较强的逻辑思维能力、三角恒等变换能力以及准确的计算能力。同学们解这类问题时要认真审题,利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件,利用正余弦定理将问题转化为三角形的边或角的函数问题,再利用基本不等式或函数求值域的方法处理。

最容易出现的错误:①没进一步确定角的范围,从而出错;②在求最值时没有结合三角函数图像求最值,而是直接代入角范围的两端点值,从而出错。

一、关于三角形中边的代数式的范围（最值）问题

点评:对于三角形中边的代数式的最值问题,若是三角形中最大(小)边长问题,先根据角判定三边的大小关系,再用正弦定理或余弦定理求解;若是关于两边以上的齐次代数式,能求得两边的和或积为常数,可以利用基本不等式求最值,也可以利用正弦定理化为求对应角的三角函数式的最值,常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角函数式的最值问题,利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题,然后利用三角函数图像与性质求最值,要注意角的范围。

二、关于三角形中角的三角函数式的范围（最值）问题

例2 (2016年高考北京理数)在△ABC中,a2+c2=b2+2ac。

(1)求B的大小;

(2)求2cos A+cos C

的最大值。

解析：(1)由余弦定理及题设条件得:

点评:对于三角形中角的三角函数式的最值问题,若是三角形中某个角的余弦的最值问题,常用余弦定理化为边,再利用基本不等式求最值;若是含有多个角的三角函数式的最值问题,常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角函数式的最值问题,再利用三角函数图像及其性质求最值,但要注意角的范围。

三、关于三角形面积的最值问题

例4 (2018年枣庄第三次联考)如图1,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=b(sin C+cosC)。

(1)求B的大小;

图1

点评:对三角形中面积的最值问题,若一角为定值,常用余弦定理及基本不等式求出这个角两边积的最值,再利用面积公式求出面积的最值;也可以利用正弦定理化为求角的三角函数式的最值问题,常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题,再利用三角公式化为一个角的三角函数式在某个范围上的最值问题,利用三角函数图像及其性质求最值,要注意角的范围;若邻边的积为定值,先求出夹角的正弦值的取值范围,即可求出三角形面积的最值。