子午线收敛角和长度比复变函数表示的实数解

金立新，魏桂华，许常文

(1. 中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西 西安 710043；2. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司，甘肃 兰州 730000)

高斯投影是等角横切椭圆柱投影，其必须满足3个条件[1-3]:高斯投影为正形投影，即等角投影；中央子午线投影后为直线，且为投影的对称轴；中央子午线投影后长度不变。

有些学者研究了用复变函数表示的高斯投影[4-6]正反解，公式比较简洁，但需要复数迭代。文献[7]给出了基于复数等角纬度、复数底点纬度表示的高斯投影复变函数非迭代解，但复变函数只能用专用软件计算，故推广使用受到一定影响。文献[8—9]研究了复变函数表示的球面高斯投影公式，并给出了与横墨卡托公式的等价性证明。文献[10]研究了复变函数表示的高斯投影近似式，其特征是采用了椭球面在球面的局部描写，且计算精度较低，只能达到0.3 m。文献[11]在文献[7]的基础上，给出了高斯投影正反解复变函数表示的实数解，也给出了高斯投影正解子午线收敛角和长度比的实数解，但未给出反解子午线收敛角和长度比的实数解。

本文在文献[12]的基础上，进一步研究长度比和子午线收敛角的实数解公式。子午线弧长对等量纬度q的导数和子午线弧长对等角纬度φ的导数分别为

(1)

对式(1)进行解析开拓，即有复数平面坐标对复数等量纬度的导数函数[4-7]，复数平面坐标对复数等角纬度Φ的导数函数[4-7]，也都是解析函数，公式为

(2)

式(2)即解析函数的复数归化纬度表示。式中，z=x+iy为复数平面坐标；w=q+il为复数等量纬度。将U定义为复数归化纬度，cosU为复数归化纬度的余弦函数。

用复变函数的观点看，长度比和子午线收敛角是解析函数在某点处的导数[4-7]。顾及r=acosu，则式(2)变化为

(3)

式(3)即解析函数导数的复数归化纬度表示。式中，m、γ分别为长度比、子午线收敛角，即

子午线收敛角取负号，是由于复变函数的方向定义与高斯投影定义的方向相反。由此可见，欲求得长度比和子午线收敛角，关键是求得归化纬度和复数归化纬度的表达式。

1 正解归化纬度公式推导

椭球面到平面的正形投影基本方程[12-14]为

z=x+iy=f(q+il)=f(w)

(4)

由复数等角纬度计算的高斯坐标公式[7]为

(5)

根据文献[11]，复数等角纬度的虚实部分开形式为

(6)

虚实部分开，即有高斯平面坐标[11]为

(7)

式中系数参见式(41)。N为系数项的项数，式(41)中N=5，实际上可以达到N=8。

由式(6)中的ϑx、ϑy对等量经度、等量纬度l、q分别求导数，可得

由式(7)对复数等角纬度的虚实部分别求导数

由式(7)对等量经度、等量纬度l、q分别求导数

不难验证

表明高斯平面坐标表达为等量大地坐标的函数，是解析函数，满足柯西黎曼条件，是正形投影。即满足了高斯投影正解的第一个条件。

中央子午线成为纵坐标轴，纵坐标即为子午线弧长。顾及tanφ=sinhq，则有

即满足了高斯投影正解的第二个条件。

此时有平行圈半径(等量纬度表示)为

(8)

由式(8)，顾及r=acosu，得归化纬度(等量纬度表示)为

(9)

由式(10)得归化纬度(等角纬度表示)为

(10)

由式(10)，等角纬度表示的归化纬度，变化为

(11)

利用余弦函数积化和差公式

式(10)变化为

进一步归纳为

(12)

式中，m1=(j0+j2)；m3=(j2+2j4)；m5=(2j4+3j6)；m7=(3j6+4j8)；m9=(4j8+5j10)。

2 正解子午线收敛角和长度比

正解中，欲求得子午线收敛角和长度比，关键是将等量纬度、等角纬度表示的归化纬度解析开拓为复数归化纬度。

式(12)解析开拓为复数归化纬度余弦，并顾及式(6)，有

(13)

利用复数三角函数公式

cos[(2n-1)(ϑx+iϑy)]=cos(2n-1)ϑxcosh(2n-1)ϑy-

isin(2n-1)ϑxsinh(2n-1)ϑy

并令

(14)

式(13)虚实部分开，即有

cosU=M-iN

(15)

式(15)代入式(3)，即有

(16)

则长度比、子午线收敛角分别为

(17)

(18)

式(17)、式(18)即为由等量坐标q、l表示的长度比和子午线收敛角。

对于中央子午线，有

(19)

式(19)表明在中央子午线上，尺度比为1，即满足了高斯投影正解的第三个条件。

对于赤道，有

长度比随着经度增加而增大，随着纬度增加而减小。子午线收敛角随着经度增加而增大，随着纬度增加而增大。中央子午线上长度比为1，为最小值，离开中央子午线，均大于1。中央子午线及赤道上，子午线收敛角均为0。

3 反解归化纬度公式推导

平面到椭球面的正形投影基本方程为

W=q+il=F(x+iy)=F(Z)

(20)

由等角纬度计算的等距离纬度计算式为

(21)

由等距离纬度计算的等角纬度计算式为

(22)

由复数等距离纬度计算的复数等角纬度计算式为

(23)

或

(24)

利用公式

(25)

式(24)虚实部分开，即有

(26)

式中系数参见式(42)。N为系数项的项数，式(42)中N=5，实际上可以达到N=8。

则有等量纬度、等量经度为

(27)

然后，由等角纬度与等量纬度的关系，计算等角纬度

(28)

由式(12)归化纬度与等角纬度的关系，计算归化纬度

(29)

式(29)进一步归纳为

(30)

从式中可以看出，归化纬度依赖于高斯平面坐标的纵坐标与横坐标。式(30)可以直接求取归化纬度，进而求得大地纬度。方法是利用大地纬度与归化纬度的闭合公式，如下

(31)

由式(27)，等量纬度、等量经度分别对复数等角纬度虚、实部求导，得

由式(26)，等角纬度虚实部分别对高斯平面坐标求导，得

由式(27)，等量纬度、等量经度分别对高斯平面坐标求导，得

不难验证

即式(27)满足柯西黎曼条件，即满足了高斯投影反解的第一个条件。

纵坐标轴成为中央子午线，顾及tanφ=sinhq，则有

横坐标轴成为赤道，有

即满足了高斯投影反解的第二个条件。

4 反解子午线收敛角和长度比

反解中，欲求得子午线收敛角和长度比，关键是将等距离纬度、高斯投影平面坐标表示的归化纬度解析开拓为复数归化纬度。

式(30)解析开拓为复数归化纬度余弦，并顾及式(6)，有

(32)

根据文献[11]，复数等角纬度的虚实部分开形式为

(33)

利用复数三角函数公式

cos[(2n-1)(φx+iφy)]=cos(2n-1)φxcosh(2n-1)φy-

isin(2n-1)φxsinh(2n-1)φy

式(32)虚实部分开，即有

cosU=P-iQ

(34)

并令

(35)

式(34)代入式(3)，即有

(36)

长度比、子午线收敛角分别为

(37)

(38)

对于中央子午线，有

(39)

式(39)表明在中央子午线上，尺度比为1，即满足了高斯投影反解的第三个条件。

对于赤道，有

长度比随着横坐标增加而增大，随着纵坐标增加而减小。子午线收敛角随着横坐标增加而增大，随着纵坐标增加而增大。中央子午线上长度比为1，为最小值，离开中央子午线，均大于1。中央子午线及赤道上，子午线收敛角均为0。

5 步骤及算例

5.1 高斯投影正解的计算步骤

首先，由大地纬度B计算等量纬度

q=arctanh(sinB)-e·arctanh(esinB)

(40)

其次，根据式(6)，由等量大地坐标q、l求出复数等角纬度Φ的虚实部分开形式ϑx、ϑy。

然后，由式(10)计算归化纬度余弦。由式(14)计算复数归化纬度余弦的虚实部，即过渡变量M、N。

正解系数为

(41)

最后，由式(17)、式(18)计算长度比、子午线收敛角。

5.2 高斯投影反解的计算步骤

首先，计算底点纬度半径R=aj0。

其次，由式(25)计算复数等角纬度的虚实部分开形式φx、φy。由式(29)、式(30)计算归化纬度余弦、等量经度cosu、l。

反解系数为

(42)

然后，由式(31)计算大地纬度，由式(36)计算过渡变量P、Q。

最后，由式(38)、式(40)计算长度比、子午线收敛角。

5.3 算 例

采用CGCS2000椭球元素，利用本文推导的公式，编制mathematica计算机代数系统程序，按照先正解、后反解的顺序，计算几个点的长度比和子午线收敛角，结果见表1。

从表1可以看出：反解的长度比和子午线收敛角与正解的长度比和子午线收敛角，完全一致。

6 结 论

(1) 本文定义了复数平行圈半径、复数归化纬度，补充了高斯投影复数理论，丰富了高斯投影理论。

(2) 给出了正反解长度比、子午线收敛角的新公式，对于研究高斯投影的机理、性质有一定意义。

(3) 基于复数纬度的实数解，突破经典高斯投影带宽的限制，适应半带宽可非常接近90°，可以实现图形信息的连续表达，对于高斯投影理论有一定改善。

表1 计算结果