历史文化视角下的中国数学课例研究

代 钦

(内蒙古师范大学科学技术史研究院 010022)

1 前言

中国的数学课例在其传统教育思想的指导下展开并有两千多年的历史，在中国数学教学史上留下了具有研究价值的丰富的数学课例，然而数学课例研究的历史并不是很长.古代南宋数学教育家杨辉的数学教育著作中有丰富的数学课例和教学思想方法，进入近代以后，中国数学教育受到西方的冲击而发生根本性变化，数学教学从传统转向现代，其课例在内容和形式上转向西方模式，但是数学教学仍然遵循着其精讲多练、熟能生巧的教学原则.民国时期数学课例研究迈入了有组织的研究阶段，但其规模不大.1949年中华人民共和国成立后，经过学习前苏联、多次教育改革后，中国数学课例研究迎来健康发展的新时代，探索出了多种教学模式及其相应的课例研究途径.

教授、教授案例、授业研究、授业课例、教学、教学研究、教学案例分析、课例研究、课例分析等名词术语自近代以来先后出现，它们之间究竟有何内在的血缘关系？它们之间有何区别？这些问题的研究对今后数学教学研究具有一定的指导性作用.

数学史的发展证明，新概念或新名词的提出会带来颠覆性的变革，如笛卡尔提出“变量”这个概念后，打破了西方的科学和哲学传统，给数学、科学和哲学带来了革命性变革；莱布尼茨提出二进制概念后过了三百多年，人类迎来了大数据时代，人类的生活方式被彻底改变.但是，在教育教学中频繁地提出一些新概念和新名词，也给教育实践带来很多不便甚至造成混乱.教育教学质量的提高并不在于名目繁多的名词术语和半生不熟的文字游戏，而在于实实在在的教学实践和踏踏实实的研究工作.提出新概念和名词术语的前提是所提出的概念和术语在内涵方面必须超越已有的概念和术语，这样才能带来新的思想和内容.在不同文化和语境之间的交流中，概念表述的相互转换尤为重要，概念表述不准确会带来失之毫厘谬以千里的后果.例如，用中文翻译日本汉字的时候，不关心概念所指向的具体事物而从字面意义上翻译成中文，这样会容易造成混乱.比如将“貴方は大丈夫ですか”从字面意义上翻译就是“你是大丈夫吗？”，而它正确翻译应该是“你还好吗？”.“课例研究”就是从“授业研究”转变过来的，并且国人目前当作很时髦的东西来使用，因此，有必要阐明“课例研究”的来龙去脉及其属性.

2 研究缘由

2.1 课例研究的来历

课例研究这个术语来自日本的授业研究，就是指课前、课中和课后的研究过程，可以简单地叫做教学研究.日本把学校里老师给学生上课叫做“授业”，这是从中国古汉语里借过来的具有现代意义的日本汉字.授业的意思为传授学业，《汉书·董仲舒传》中说：“下帷讲诵，弟子传以久次相授业.”[注]商务印书馆.辞源(上册)[Z].北京：商务印书馆，2012：1398.唐代韩愈的《师说》中说：“古之学者必有师.师者，所以传道受业解惑也.”据《古训汇纂》[注]宗福邦，陈世铙，萧海波.古训汇纂[Z].北京：商务印书馆，2003：902.中“授”字解释之第14、15、16项解释为“受”，因此古汉语中“授业”和“受业”也有相同的意思.日本权威词典《広辞苑》[注]新村出.広辞苑(第四版)[Z].東京：岩波書店，1993：1227.中解释“授业”为“学校などで学問·技芸などを教え授けること.”(在学校传授学问和技艺等的事情)日本人最初把“授业”给欧美国家翻译的时候用了音译，叫做“jyugyou”，后来直接用英语翻译为“lesson”.“授业”变成“lesson”.于是“授业研究”自然地变成“lesson study”，在有意无意当中被披上了神秘面纱，就像“日本造”一样在西方教育界被誉为“日本造”的课堂教学研究——lesson study，在中国的教育界被称为“课例研究”，简单讲“授业研究”四个汉字变成“课例研究”.实际上，在一百多年前中国教育界学习日本时引进来大量的名词术语，当时使用了日本的“授业”，一直到上世纪90年代亦如此，如钟启泉、方明生先生也采用了“授业”[注]钟启泉，方明生.当代日本授业研究[M].太原：山西教育出版社，1992..日本的“授业研究”(实际上就是教学研究)被译成“lesson study”后，本来就是非常普通的“教学研究”活动拥有了一种洋味且富有时髦感，这样一来无论是在西方国家还是我们中国的教育界都掀起了各种课例研究，甚至以日本课例研究作为基本标准来衡量自己国家的各学科的教学和教学研究过程.于是问题就出来了，那就是符合“备课——教学设计——说课——授业——反思——评课”全过程就是课例研究，否则就不是.所谓日本课例研究是他们从近代以来在自己精雕细刻地做事的传统上形成的最终的完成形式，如果根据现在学者们论著中的意思表述的话叫做完美形式也不过分.但是这样以后问题就出来了，除日本以外国家的学校的教学活动研究都以日本“课例研究”来量身，相同者沾沾自喜，相异者感觉自愧不如，甚至即使达不到“课例研究”标准也得假装“课例研究”，就像皇帝穿新装那样.这是一个很可怕的现象.事实上，课例研究并不神秘，也不一定都要达到“备课——教学设计——说课——授业——反思——评课”的形式，它可以包括其中的某一部分或某一项都可以，就像我们中国汉语中教学研究那样.让人们相信这一点，必须从“授业”说起.在日本给中小学和大学本科上课一般叫做“授业”，给研究生上课一般叫做“讲演”，这里暂且不说“讲演”，简单地说一说“授业”.日常学校生活中，日本学生互相了解是否有课的时候会问“有授业吗？”如果问匆匆忙忙地往教室走的老师“为什么这么着急地走”的时候，他(她)会回答“有授业”.“有授业”就是“有课”的意思.这样一来，课例研究并不是仅仅指那种“备课——教学设计——说课——授业——反思——评课”的完美形式，也可以指研究课堂教学工作的某一部分.我们认可日本在“授业”研究(课例研究)的成绩及优秀做法的同时，也要客观地看待它的来龙去脉.如果都要按照日本的课例研究程序来衡量中国的课堂教学似乎都不是教学研究工作了，这是很奇怪的现象.这犹如按照日本的俳句来衡量唐诗宋词是否属于诗词那样的本末倒置的做法.日本在学习中国的唐诗宋词的基础上创造了自己的诗词形式——俳句，“俳句”这个词被造出来后日本人有了一种大和民族的自豪感，消除了在博大精深的唐诗宋词面前的自卑感，所以我们不能用俳句来说唐诗宋词，那样就太可笑了.又如，“和算”这个术语就是日本传统的数学，它是日本在中国传统数学的基础上发展起来的数学，这也是日本为了摆脱中国的阴影而造出来的东西.所以，也不能用“和算”来衡量中国的传统数学是否符合数学的标准.

日本教育界公认的事实是，日本现在的课例研究的产生深受波兰教育家Wincenty Oko的《教授过程》(Proces naucz·ania)(1956)的影响[注]细谷俊夫，奥田真丈，河野重男.教育大事典(3)[Z].東京：第一法規出版株式会社,1965：334..该书的波兰文版1956年出版，1957年德文版出版，1959年由德文版译成日文版出版.该书主要基于马克思的认识论思想和巴甫洛夫学说，建立了教学研究理论体系.该书由九章构成[注]Wincenty Oko.教授過程[M].細谷俊夫,大橋精夫,訳.東京：明治図書,1959.：第一章——教学过程的历史展望；第二章——教学过程的认识论基础；第三章——教学中的秩序问题；第四章——使学生掌握新知识的问题；第五章——使学生了解现实的一般的诸性质的问题；第六章——教材的确定；第七章——能力及技能的发展；第八章——理论与实践的结合；第九章——教学结果的检查与评价.

2.2 中国数学课例研究的来历

中国文化的独特性在于她在几千年的发展过程中延绵不断，创造了丰富多彩的伟大业绩，也为世界文化的发展做出了自己应有的贡献.她也造就了中国数学教育教学的独特模式.进入近代以后，西方数学内容代替中国传统数学教学内容，西方数学教育思想方法等逐渐渗透到中国数学教育中，使中国数学教育的内容和形式发生了根本性的变革.但是中国数学教学的精讲多练、循序渐进、熟能生巧的策略和目标从未发生变化，甚至愈来愈加深.因为这些策略和目标是中国传统数学教学的根基，离开这些它就会失去了存在的意义.如果不能达到“熟能生巧”的目标，那么培养创新意识和创新能力都是空谈.20世纪初，中国通过日本学习西方教育，深受赫尔巴特“五段教学法”的影响，20世纪20年代开始采纳美国的“六三三”学制，在数学教学中倡导“做中学习”，进行了一系列的数学教学改革实验，直至1949年中华人民共和国成立.

1949年，中华人民共和国成立后，中国数学教学深受前苏联的影响，备课和课堂教学围绕着培养运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力展开，注重“双基”训练和数学的纯粹性.除文化大革命以外，这一现象延续到20世纪80年代末.此后，各种数学教学改革实验在中国各地掀起，其中最具影响的是顾泠沅先生在上海青浦县进行的数学教学改革实验，形成了一套“行动研究”理论，同时逐渐地形成了“变式教学模式”，并且正在引起西方世界的关注.1990年代后受到美国、日本等国家的影响，在中国先后出现了开放题教学、课题学习、综合学习、探究学习、导学案教学和小组合作学习等多种数学教学模式.在客观上这些改革探索促进了中国的数学教学的改善，但是也存在潮流化(运动化)或者极端化现象，条件一般的学校在教育行政的干预下盲目地跟从改革潮流，迷失自己的方向，没有自我概念，不能够构建具有自己特色的学校数学教育教学文化，从而导致了教育资源的严重浪费.2001年以后，中国进行了数学课程改革，数学教育研究者们更理性地看待改革，进行反思，对个别地方的数学教育“改革”提出了尖锐的批评，同时参与到中小学数学教学理论与实践研究中；各地中小学数学教师也纷纷投入到教学研究活动中，正在形成专家与行家合作的数学教学研究模式.但这并不说明我们的专家就变成了行家，行家变成了专家.既是专家又是行家的数学教育工作者究竟有多少，目前尚不清楚，也无人问津.现在的中国数学教育早已摆脱了上世纪的学习日本、学习欧美、学习苏联的单一模式，进入具有国际视野的多元化模式中，中国在国际数学教育中扮演着重要角色，学习所有先进的思想方法，创造具有民族特色的数学教育.

在这样的历史背景下，有不少中学介绍和研究日本课例研究，为日本教育免费做广告，结果导致了所谓的中国课例研究的开始，诚然亦肇始数学课例研究.有些国人按照日本课例研究模式展开中国式的课例研究，有些学者也独立地提出了数学课例研究的思想和方法.学习国外先进的教育思想方法是一件很有意义的事情，但不能在还没有完全理解的情况下，把它当做金科玉律来宣传.

3 中国古代数学课例研究的现代价值

按照日本的“授业”研究(课例研究)的含义，中国传统数学教育中也有一定的课例研究，甚至有些典型案例具有现代意义，并且仍然在发挥作用.问题在于我们是否了解和认同自己的传统数学教育.

两千多年以来，中国传统教育主张学习和思考的统一性理念——“学而不思则罔，思而不学则殆.”(《论语·为政》)；教与学的统一性理念——“教学相长”(《礼记·学记》).“教学相长”理念主张[注]代钦.中国传统数学教学智慧[J].数学通报，2012，51(8)：2.：教与学是互相促进的；教师与学生是互相促进的；教师的教与教师本人的学是互相促进的.在人们互相学习或者师生之间互相学习方面提倡“三人行，必有我师焉.”(《论语·述而》)等教育思想.这些优秀的教育思想不仅在学校教育中发挥不可替代的作用，而且在人生教育中也起到重要指导作用.数学学科有它的特殊性，但是中国传统数学教育中也遵循这些思想.

中国传统数学教育中有丰富的课例，这里仅给出“精讲多练”的典型案例——南宋数学家和数学教育家杨辉(约十三世纪中叶)的教学案例.

杨辉的“习算纲目”是中国古代极其珍贵的“教学计划”文献，它的主要思想是精讲多练、言必有据，要“讨论用法之源”，强调由浅入深、循序渐进的教学原则.杨辉按照这些思想和原则进行的“三角形面积公式的推导”教学设计，不仅对今天的中国小学数学教学具有重要价值，而且也对日本产生了积极的影响.不少日本小学在推导三角形面积公式教学时采用杨辉方法[注]Kotou Satoshi. How to Appreciate Students’ Various Ideas in Problem Solving[C]. Japan society of Mathematical Education. Mathematics Education in Japan 1995：Views of Mathematics Learning toward Theorizing. Tokyo: Sangyou Tosyo，1995:115..

杨辉在《田亩比类乘除捷法》中详细地探索了学习三角形面积公式的推导(如图1-1、图1-2、图1-3)：

“广步可以折半者，用半广以乘正从.从步可以折半者，用半从步以乘广.广从皆不可折半者，用广从相乘折半.”

图1-1 图1-2 图1-3

这里体现了精讲多练、一题多解的教学思想，让学生从多角度探究三角形面积的推导过程，用现在的语言表述为“自主探究式教学”、“课题学习”和“变式教学”也不为过.

4 民国时期课例研究

自1912年至1949年10月前是中国历史上的民国时期.该时期政治局势动荡，加之1930年以后日本侵略中国直至1945年抗日战争胜利，后来又发生国内战争直至1949年中华人民共和国成立.在这动乱年代里中华民族将发展教育作为民族复兴之本，克服苦难，创造了教育事业蓬勃发展的奇迹，这就是所谓的“民国教育现象”,民国教育培养了陈建功、苏步青、杨振宁、李政道等一批杰出人才，其中数学教育扮演了重要角色.在近现代历史上，中国数学教育模仿日本数学教育模式，学习德国赫尔巴特教育思想，效仿美国实用主义教育模式，探索了数学教育教学方法、研究途径和实验改革道路.民国初期，俞子夷在南京上海等地展开了小学数学教学实验，又成立江苏省的“算术商榷会”，后来在北京、广东等地也开展了数学教学实验研究活动.另一方面，在教育部的统一安排下，1930年代各师范院校也进行了暑期理科教员讲习班.这一系列的活动在客观上促进了中国数学教育的整体发展.

4.1 民国时期数学教学法实验

教学实验是教学研究的重要组成部分.在民国期间，中国进行了各种数学教学实验研究，但起步较晚，没有明确的研究方向，规模并不大.正如《第一次中国教育年鉴》中所提出的那样：“中国教育自清末变法维新以来，朝野人士莫不知强国之本在于教育，于是对于教育之推进革新，不遗余力.唯是当时主持教育者，对于教育，毫无主张而进行步骤，又无一定方向，以致在制度方面，时而抄袭日本，时而模仿欧美；至于教学方法，忽而采道尔顿制，忽而采文纳特卡制，忽而采设计教学法，盲从附和，不加审察，步趋既紊成效自鲜.”[注]周邦道.第一次中国教育年鉴(戊编)[M].台北：宗青图书出版公司，1991：181.但有些教学实验研究也取得了一定的成效，如著名教育家俞子夷的设计教学法和珠算笔算混合教学实验研究等.

19世纪末20世纪初，教育实验在西方兴起，引起教育思想方法的巨大变革.20世纪10年代开始，教育实验研究思想方法陆续传入中国.当时，中国数学教育实验研究的开创者俞子夷等数学教育研究者进行了一些数学教学实验研究.

首先，俞子夷的设计教学法实验包括改造的设计教学法和随机教学法两个方面.

1918年，美国教育家克伯屈总结归纳出设计教学法.1919年，俞子夷在南京高等师范学校附小首次进行了设计教学法实验研究.设计教学法与传统教学法不同，它以儿童为本位，以儿童的自愿活动为中心，注重儿童的兴趣和需要，结合社会实际，开展一系列的计划、实施、评价等活动.俞子夷首先把课程分成四类：属语言文字类者；需要动手制作者；各种游戏，包括数字游戏；及唱歌与舞蹈.然后“布置四间相应的教室，供一、二年级三个班与幼儿园轮流使用.特设一个‘低级指导’，总负责.科目的界限打破，上课时间改用分数制，教材仍预定.……我们仍有大纲，预定一学期、一学年应学的内容，应达到的标准.”[注]王权.中国小学数学教学史[M].济南：山东教育出版社，1996：374.

俞子夷进行设计教学法实验时，“对旧传统仅作局部的改变”，这与原来意义上的设计教学法有所不同，已经变成了中国式的设计教学法.该实验虽然打破了学科的界限，但并没有废除课程，只不过按儿童的活动类型分类而已.

随机教学实验，即算术教学结合在其他科中进行.俞子夷对随机教学进行了改造.他对低年级儿童进行了随机教学实验.他认为，不必用正式学数学的形式，而是在日常生活中，随机引入一些大小、长短、共多少、剩多少等数量用语，并根据情况教学生一些简单的数量问题.在高年级儿童中仍然采用系统的教学法.另外，随机教学法主要采取数学教学法游戏化的做法.

其次，珠算笔算混合教学实验.俞子夷针对“要不要珠算教学”这个问题，在1936—1937年间，在小学进行了珠算笔算混合教学实验研究.他认为珠算笔算混合教学是最经济的教法，“珠算比笔算后教，应当多方利用笔算中已学过的方法技术.笔算除法已教试商，珠算除法仍应继续.如此，珠算有基础，而笔算得以巩固.”[注]王权.中国小学数学教学史[M].济南：山东教育出版社，1996：376.俞子夷的珠算笔算教学实验将珠算教学建立在笔算基础上，攻克了珠算口诀的难关，而且能使笔算、珠算教学相得益彰.

除俞子夷的实验研究外，上海、浙江等地在小学进行了数学教学实验[注]周邦道.第一次中国教育年鉴(戊编)[M].上海：开明书店，1934：190-191..这些实验研究采用了等组法、输组法、单组法等实验方法，也取得了一定的成果.

4.2 中国民间数学教育研究团体——江苏省“算术商榷会”

1915年7月13日，在南京成立了江苏省“算术商榷会”，主要由著名教育家俞子夷领导.商榷会的宗旨为：“专就小学算术科发表实地研究之心得，由各会员互相商榷，以资算术教授之改良进步.”[注]俞子夷.算术商榷会报告书[M].上海：上海国光书局，1916：1.商榷会的商榷方法规定为，会员提出讨论议案后进行定期讨论，之后形成改善数学教学的方案，有时也请专家给中小学教员作报告.1916年，算术商榷会的第一阶段讨论研究报告书《算术商榷会报告书》由上海国光书局出版，如图2.

从研究团体的作用来看，“算术商榷会”具有重要历史意义，正如傅种孙所说：“中国有史以来就有很多数学家，如商高等他们的工作至今有史可稽，但他们的合作事迹，则很少见.直到民国，各数学家仍然是各学其学.”[注]中国数学会第一次代表大会总结报告[J].中国数学杂志.1951，1(1)：48.数学教育工作者更是如此，各做各的，没有使他们能够团结合作的组织，而“算术商榷会”做了个良好的开头.它为以后的数学教育政策的制定和数学教育研究提供了一定的依据，因为商榷会的主要领导俞子夷先生，参与了其后的中国数学教育制度的制定工作，并起草了于1923年颁布的《小学算术课程纲要》.

图2 《算术商榷会报告书》

4.3 民国时期课例研究案例

民国时期的数学教育工作者给我们留下了丰富而珍贵的数学课例研究的文献，我们很难就当下进行的课例研究水平是否高于当时的课例研究水平做出判断.为了读者更好地了解当时的课例研究情况，下面展示1914年的小学四年级第二学期1节算术课堂教学研究过程.

这是于1914年4月25日在北京女子师范学校附属小学校进行第一次教授法研究会时的数学课例研究.研究会对即将毕业的师范生的授课进行批评指导.实习生授课，指导教师和其他实习生进行批评指导.批评指导的目的在于：“又批评者，所以批评教育之方法也，与个人感情毫无关系.法有可疑，质问之可也.质问之不足，讨论之可也.夫当质问讨论时无好恶、无利害，所求者一是非善否而已，此真所谓研究也.研究会必如是，然后可持之久远而不患无成效之可睹矣.诸君勉旃.”[注]邓菊英，李诚.北京近代小学教育史料(上)[M].北京：北京教育出版社，1995：247.

课例研究按如下八个步骤进行：

(一)教授者自陈.(二)批评者自问.(三)教生批评.(四)小学教师批评.(五)师范教师批评.(六)级任教师批评.(七)小学主任批评.(八)主席者批评.

初等科第三学年第三学期第三周土曜日第一时算术教授案：

教授者：林温如

题目：第十四课，除法(共和国教科书新算术第六册)

教材：授两位法数之除法，其商数皆为三位.

要项：(一)形式上，(1)商数之十位为0者.(2)商数之个位为0者.(3)商数之十位个位均为0者.(二)实质上，使物品之分给法，并布匹纸张等之名称.

准备：小黑板、教鞭、色粉笔.

目的：使知法数两位，商数三位之除法及其应用.

时间：全课教授分六小时.

方法：

(一)预备

(1)练习心算：(a)25÷5=△ (b)36÷6=△

(c)80÷40=△ (d)200÷5=△ (e)300÷5=△ (f)405÷5=△.(g)有纸360张，6人分之，问每人得几张.(h)有布八匹，共长640尺，问每匹布长若干.

(2)指示目的：今日授汝等以商数十位为零之除法.

(二)教授

(1)示例：(a)6479÷31=△

(b)5125÷25=△

(注意)初商后因余实不足容法数，再添一位，故次商为0.

(2)揭示式题：(a)6992÷23=△ (b)7654÷19=△ (c)8098÷22=△ (d)7042÷14=△ (e)7904÷13=△

此时令一、二儿童先解释之.

(3)巡视桌间：

(4)板上订正：此时令二、三儿童先演算于板上，至订正时先问全体生徒与板上所演之式有无异问，若无错误，则奖勉之，有错误，教者再以色笔订正之，令其照板上自行更正.

(三)应用

(1)揭应用题：(a)有布7112匹，分给14人，问每人得若干匹.(b)有纸8360张，分给40人，问每人得若干张.

此时令一、二儿童先解释其意义.

(2)巡视桌间：此时如全体儿童已经演毕，令一、二生口唱答数，再令全级儿童决定之.

(3)板上订正：此时令一、二儿童先演算于黑板.订正之法，与教授段同.(若时间不足，即于簿上订正之.)

(4)收集练习簿.(令每排最后之人收之)

(备考)此系第一时之教授案.

讨论环节

课堂教学结束后，按照事先确定的顺序展开了认真的批评指导.首先，授课者讲述了自己讲课情况，认为讲课“教态呆板，多不合法”.讨论的问题概括如下：例题的数量、小黑板的使用、内容呈现顺序与形式、练习题的多寡、教学进度与学生接受的关系、商数的个位数为零与十位数为零的区别、一节课内容不宜过多、对于应用题教师先讲解还是让学生先讲解题意、擦掉已讲内容的板书是否合理、如何激发学生的兴趣和积极性、重视学生的提问及反馈、心算特征、课堂巡视时间过长但是针对性的指导不够、只关注学习好的学生而忽略学习一般的学生、教师课堂提问不明确、彩粉笔的使用不得当、没有能够关注学生的举手、讲课声音大但缺乏抑扬顿挫感、新内容与已学内容的衔接不够、没有能够交代实、法、商与名数和不名数的关系、时间分配是否合理，等等.

最后，主席作了总评价[注]邓菊英，李诚.北京近代小学教育史料(上)[M].北京：北京教育出版社，1995：254.：

观林生教授大致不谬，第一次能若此，是亦足矣，即诸生批评，亦颇多中肯语，甚可喜也，予不复细评，仅就其大者言之.

(1)练习心算未能合法.当练习心算时，首宜使儿童心意沉静，然后教者朗诵其数(诵时实数法数等均须清晰)，使之思索，后再使之答述，既答述后即使不谬，亦不可遽以是为满足也，必再问其如何运算之法，然后取决于全级，则心算之效用自得.

(2)说明例题未能扼要.今日例题，重在位置，位置之关系非比较不明，苟以十位加圈与不加圈者两相对照，方可使儿童明其加圈之理.又今日式题均系十位为零，是本时间之主眼，而教者订正时未有一言及此，是目的全失去矣.

(3)解释问题尚嫌含糊.今日应用问题，既重在分解，分解之法，实数如何，法数如何，其名数不名数之关系，不可不剀切说明，且其答数与式题有何关系，皆常使之注意，不可仅稽其对与不对而已也.

这是一项典型的小学除法课例研究，记录的内容非常详细，批评讨论非常认真且深刻.(未完待续)