学材再建构 在结构中教与学

李庾南 冯卫东

(南通市启秀中学 226001) (南通市教育科学研究院 226001)

“自学·议论·引导”教学法的核心理念是，“以学生为主体，在师生、生生合作中学会学习，学会自主发展”.它遵循三条规则，即学材再建构、学法三结合、学程重生成，简称“三学”规则，在此指导下，追求“有规则的自由”教学境界.“三学”是“自学·议论·引导”教学法的时代表达，也是该教学法发展到当下核心素养时代的逻辑必然.

“三学”不是互相割裂的，彼此有着紧密的关联：“学材再建构”致力于解决学习资源优化的问题；“学法三结合”致力于解决教学方法最优化的问题；“学程重生成”致力于解决教学过程中“预设”与“生成”的关系问题——如何进行科学的教学设计，又如何创造性乃至艺术性地实施设计、使之更好地服从和服务于教与学(尤其是学生的学习及其“生成”)的问题.这里所谓“生成”，不是狭义的，不限于教学过程中出乎教师“预设”、意料之外的学习行为；而是广义的，指学生在自我学习、相互议论和教师引导等环节或情境中建构与探究知识、生成能力和智慧的学习历程.

我们把“学材再建构”置于“三学”之首，原因是，它从教学内容角度进行课堂变革，而后两者则从教学形式即方法与路径的角度进行课堂变革；而在一定意义上，内容的变革才是起先决性或前导性作用的因素，有了学材之“皮”，也才有学法和学程之“毛”；只有建立在内容优化基础之上的学法变革和学程优化，才能使最优化的教学内容在最优化的组织形式和因素结构中产生效应，发挥效力.所以，我们既注重彼此之间的深刻关联，努力做到使三者和谐统一，协力共进；也注重处理好其中的主要矛盾，凸显矛盾的主要方面，以“学材再建构”为最重要的发点力，撬动课堂教学变革的整体格局.

1 “学材再建构”是什么

它可以切分为两个方面，而切分的依据主要在于对“学材”的两种不同理解.

“学材”，简单说就是学习材料，或者学习资源.它有广义和狭义之分.

广义的“学材”包括与学生当前的数学学习有关的一切信息、材料和资源.哪里有生活，哪里就有数学，哪里就有数学的“学材”.

在今天“互联网+”、泛在学习环境和开放办学的背景之下，数学教师要有意识地引领学生走向生活，在生活中学习数学，用数学来解决生活中真实的问题.或者说，用数学的眼光、数学的思想来看待、审视、解释与改造这个世界.要努力做到，从“教材是学生的世界”走向“世界是学生的教材”.

狭义的“学材”主要指学生当前数学学习最常用到的一些直接相关的材料，譬如教科书、教辅资料，等等.

人们更多的是先单课单课地教，而后再利用单元复习等时空，对前面一个学习过程进行总结、归纳、提升，走的是“先分后总”的路子.

如此教学的弊端显而易见：以单个的、孤立的、缺乏联系的“知识点”呈现出来的东西，最终大多会成为无意义、机械性和被动式接受的东西；学生难以把这些知识有机地联系起来，较好地识记、理解和运用.当下，为什么会出现“一教就懂，懂而不会”或“一教就懂，一做就错”的惯常情形，原因主要也在于，就彼此分割的知识点进行教学，往往使学生“只见树木，不见森林”.我们理应对这样的教学方法“说不”.

从长远角度看，广义理解“学材(再建构)”确有必要；而从当前教学实际出发，从普遍意义和普适价值来看，从最紧要的关键之处着眼，我们还是取相对狭义的视角.就这样的视角来看待与论述“学材再建构”，理应能给更多学校、更多教师推广或应用“自学·议论·引导”教学法、进行课堂变革、开展教学实务带去更多可资借鉴的方法，更多有用有益的启示.

基于此，本文所论“学材再建构”指的是，对数学教材文本知识进行重组，并着重进行单元教学.学者徐文彬等进行“单元知识结构教学(模式)实验”，它“把每一个知识点都放到完整的单元知识结构中去理解，促使学习者建立新、旧知识之间的关联，把握知识结构之整体”.[注]徐文彬等.单元知识结构教学模式的理论阐释[J]. 教育研究与评论(课堂观察)，2017(1)：06两者大致相同，也可以讲，我们进行知识重组、单元教学，其旨亦在于把知识点放到结构中去教学，即“在结构之中教(与)学”.

有必要指出的是，“学材再建构”自然不唯单元教学一途或一法，但单元教学无疑是其中基础、主要和最具可操作性、可以大面积推广与产生教学效益的途径与方法.

2 为什么要进行“学材再建构”

前面也部分回答了这个问题.概言之，对现有教材文本等进行“再建构”，有利于师生“在结构中教与学” ，有利于学生对原本碎片化、零散性的知识进行结构化处理.经过如此处理的知识才不再是一颗颗孤零零的葡萄粒，而像是由一根根藤蔓贯联起来的葡萄串.当下教学首要从“交给学生一大堆零乱的葡萄粒”走向“教给学生摘取一串串葡萄的方法”，否则，其它更富创新意义与现代价值的教学变革就缺失了根基.

2.1 “在结构中教(与)学”，学生的学习才能更好地温故而知新

进行课程、教学的变革，目的是促进学生“学习的革命”.有一些学习方式应该为时代所淘汰，如被动“填鸭”；而有一些应该加以扬弃，如在不理解意义时就背诵；有一些则要在批判中继承，在继承中创新，如温故而知新.“故”指前面学过的知识，而不是“已经故(死)去的知识”，它理当有一定温度，有较强生命力，而不是冷冰冰、硬梆梆或者早被彻底遗忘的知识，它要有较高的可唤醒度.布鲁纳说，“除非把一件件事情放进构造得很好的模式里面，否则就会忘记”.教学的目的不在于“储蓄”知识，但教学也要善于帮助学生战胜遗忘，其中最好的方法莫过于让知识本身不容易被忘记，这就要把它放到一个模式(结构)中.置于如此模式(结构)中的“故知”，往往能被便捷地“唤醒”.今天我们依然倡导“温故而知新”，更应在“故知”的结构化、可唤醒度等上面着力，如此，不仅能促进学生更好地温故知新，也有益于新旧知识高效、优质地实现“同化”或“顺应”.

2.2 “在结构中教(与)学”，学生的接受性学习才能有意义

钟启泉教授说：“既不能无视儿童已有的知识体系，单向地灌输知识；也不能走向轻视概念性知识、无视知识结构化的体验主义教育.”[注]钟启泉.知识隐喻与教学转型[J]. 教育研究，2005(6)：19

让学生不是通过体验去获知，而是通过接受性学习习得概念性等一类知识，这并未悖离现代教育观.问题是，要尽量减少机械性的接受，消除无意义的接受，要使这两者朝向“有意义接受性学习”的方向转化，或者说，让接受性学习具有更高的意义值.

在实践中，我们往往先建构单元整体，引领和帮助学生建立有关本单元的知识框架认知，建立轮廓化印象，然后再深入研究具体的单个知识.仅从“识记”这一最低阶思维的角度出发去考量此种教学方法变革的作用，就会发现，处于某种联系中的知识往往能让学习者实现一种“情境记忆”——框架或网络式情境中的记忆，记得一点就能“带出”许多.这样的学习是有意义的接受学习，也无疑是一种“活的学习”.

2.3 “在结构中教(与)学”，学生的学习才能实现高效率的迁移

结构其实也可以视为诸种元素之间的关系或联系，以及由此所构成的模式.而布鲁纳所指的“学科基本结构”，其核心意义正是各种基本概念、原理以及它们相互之间的规律和联系.阿亚历山大洛夫说：“对任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门科学的片段知识中形成……需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本质.”[注]转引自：陆世奇，“单元知识结构教学模式”的实践解读[J].教育研究与评论(课堂观察)，2017(1)：13结构化的知识才有整体性，学生也才能在这种整体性中透析、看出其本质或基本观念.而“学到的观念越是基本，几乎归结为定义，则这些观念对新问题的适用性就越宽广”.[注][美]布鲁纳.教育过程[M]邵瑞珍,译..北京:文化教育出版社，1982，6:37综上所述，学生只有在结构化的知识里，才能理解知识元素之间的关系，才能透过关系发现本质，进而再以这些本质性的认知去解决更多同类或有紧密关联的问题，实现高效率的迁移.数学教学最需要引领学生打通许多个有联系的知识点，通过归纳发现“殊相”背后的“共相”——许多知识点及个例里面所包含的“概括化原理”(华东师范大学裴新宁教授语).有了它，才能知一反三，甚或一通百通；才能从知识的“算术级增长”走向能力的“几何级增长”.

2.4 “在结构中教(与)学”，学生的学习才能逐步走向高阶思维

布鲁姆教育目标分类理论把人的认知思维过程由低到高分为六个层次，即记忆、理解、 应用、分析、综合和评价.前、后三者分别属于低阶和高阶思维范畴.在一般情况下，低阶思维更多发生在一个个知识点的教学过程中，其中尤以对知识的简单识记为主；而高阶思维则几乎不可能发生在各种碎片化的教学中，因为，无论是分析，还是综合抑或评价，都必须在纵向或横向两个维度上向深处(本质层)拓进，或者向远处(更广面)拓开，这些都很难在一个点上或者若干个缺乏关联的点间进行；而“在结构中教(与)学”恰恰具有这方面的优势，它足以裨补单体知识点教学的阙漏和不足.

2.5 “在结构中教(与)学”，学生的学习才能真正发生

“让学习真正地发生”(或“让‘真学’发生”)是越来越响亮的时代话语.之所以有“真学”一类的话语，恰恰因为“假学”情形普遍存在，有学者指出，“假学”具体形诸“多多益善”、碎问碎答、立竿见影、“行云流水”和“圆圆满满”等一类的课堂或环节中.而“在结构中教(与)学”则相反，它往往是教少学多，有整体把握，要深度思考，须启动复杂性思维，有更多的可能性和更大的延展空间(从而使学生的习得结构并不十分饱满、圆润)，等等，这些又无一不是“真学”的表征.易言之，要使这一时代话语在数学课堂中落地、生根、开花、结果，当务之急是，改变“一地鸡毛”式的教学现状，切实实现“在结构中教(与)学”.

最后，为什么要进行“学材再建构”，“在结构中教(与)学”？还因为，它符合一定的教学哲学思想，是对系统思想、“整体决定部分”思想(孟子说，“先立乎其大者，则其小者不能夺也”)、“组块策略”(这是促进记忆力最普通的策略)思想以及叶澜教授新基础教育“结构关联地教，互动生成地长”学科教学思想等的认同与响应.

管理学大师熊彼特将“生产要素的重新组合”称为“建立新的生产函数”，还视之为创新的根本.数学教学其实也是在进行着数学知识与能力等多方面的“生产”.基于此，可以说，“学材再建构”就是相关的“生产要素的重新组合”.我们进行更多的教学变革与创新，万变不离其宗，还是要在“生产要素的重新组合”上发力，在“学材再建构”上做文章.失此，就是浅度的改变，就是不触及根本的花样翻新，就是在本质层的外面兜圈子.

3 “学材再建构”怎样操作

“学材再建构”，在结构中教(与)学，最终要在每一节课堂乃至一些具体的教学环节中落实、落细、落小.这就要求我们进行相关方面行为范式的建构、操作要义的总结.“自学·议论·引导”教学法40年的实践历程，也可以说就是“学材再建构”的探索历程.在此方面，我们积累了比较丰富的经验.

3.1 在知识结构中建构学材单元，习得结构知识

再建构“学材”之前，必须首先理清教材中章或节的知识体系，主干知识(或称为“核心知识”，这是一种“可再生性知识”，也就是人们常说的“能生长知识的知识”)及知识间的逻辑关系.

例如，教学人教版第24章“圆”，我们可以这样认识本章的第1、2两节的知识之间的内在联系：

在这样的结构中建构单元学材：第一单元，学习圆的定义，由定义结合图形抽象概括出圆的对称性质，确定圆的条件以及点与圆的位置关系；第二单元，学习由圆的对称性质具体化生成的垂径定理和弧、弦、圆心角定理， 以及圆周角定理；第三单元，由确定圆的条件研究三点共圆、四点共圆的条件，建立圆内接三角形，圆内接四边形的概念、性质、判定及反证法的运用；第四单元，研究点、直线、圆与圆的位置关系及其相对应的数量关系.通过四个单元的教与学，使学生习得的不是一个个的知识点，而是一个结构化的知识体系.

3.2 在认知方法体系中建构单元学材，习得认知方法体系

面对一个新的数学对象，研究什么，又怎么研究？我们常常是在习得结构性知识的过程中同步习得的.

例如，学习课题“三角形全等的判定”时，首先研究全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.剖析定义的题设“两个三角形能够完全重合”的实质是指两个三角形形状、大小完全相同，即两个三角形的三条边分别相等，三个角也分别相等，那么，根据定义判定三角形全等时，“一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等吗？”根据三角形的边角之间存在相关关系，上述六个条件中，能否选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？因而明确了探究的方向：寻求最少的条件对应相等就能保证其他条件也对应相等.怎样探究呢？根据“三角形三个顶点的位置确定，则它的形状、大小也就确定”的道理，运用分类的思想方法，从已知三角形的元素的个数及类别一一研究，最后得到至少必须已知其中三个元素，并且至少含一条边才能确定三角形的三个顶点的位置，即画出唯一的三角形，因而这样的三个元素对应相等的两个三角形形状，大小完全相同，根据定义，判定这两个三角形全等，从而生成了三角形全等的四种判定方法，并习得了对“三角形全等判定”的一种认知方法体系：

任何一个数学对象，它本身存在于一个知识体系中，同时研究它的程序、途径、依据、结果、表达等构成研究它的一个方法体系.因此，我们在认知方法体系中建构单元学材，使学生在习得知识体系的过程中同步习得了认知的方法体系.

3.3 在一类数学对象的学习过程中建构学材，习得研究 “通法”

许多数学对象的研究是有“通法”的，掌握其中一个对象的研究套路(程序、原理等)，就有能力自主并有效率地探究其它对象，提高学力.

在初中阶段教学第一个函数 正比例函数y=kx(k≠0)时，把正比例函数的概念、图象和性质作为一个单元教学.在引导学生伴随知识的探究过程中体会研究函数的方法：首先由函数解析式y=kx(k≠0)的特点，得到自变量x和函数y的值均为全体实数，且y和x成正比例关系，因此在平面直角坐标系中以(x，y)为坐标的点的集合是过原点的直线；如果k为正数，x，y同号，此时直线y=kx过一、三象限，且直线从左向右是上升趋势，函数y随自变量x的增大而增大；如果k为负数，x，y异号，此时直线y=kx过二、四象限，直线从左向右是下降趋势，函数y随着自变量x的增大而减小.在这个基础上进一步引导学生列出自变量x与函数y的对应值表，在列表的过程中体验自己的探究，研究形成的表格，对已有的探究成果进行补充和修正.最后描点、连线总结正比例函数的图象和性质.总结研究函数的一般方法：一般先研究解析式特征，分析自变量x取值与函数值y的范围(由“式”到“数”)，分析以(x,y)为坐标的点在平面直角坐标系中的位置，从而判断函数图象的形状、趋势、性质等(由数到形)；再通过列表分析，体验修正或补充以上的判断，最后描点、连线，验证以上的猜想、判断，归纳图象特征，位置分布和趋势，总结出函数性质(由“形”(图象)到“数”(函数性质)).

概念(原理)或方法、经验或知识体系的生成不是一蹴而就的，也不一定是一堂课完成的，大多数情况下要经过数节课螺旋上升，由表及里，由点到线，由线到面，生成一个比较完整的、逻辑的结构体系，伴随这一过程，学生自然能生成一定的情感、态度和价值观.

3.4 在认知规律中建构单元学材，完善认知结构

在一般性认知规律中，学生的数学学习过程往往是，通过观察实验，操作获取信息→对所获取的信息进行思维制作(包括析理、归纳、论证、推导、记忆等)，懂得是什么、为什么、内在结构及相互联系，并将其纳入已有的知识体系，进行系统化、条理化、逻辑化→运用概念和规则解题，通过解题练习、自我体验和总结，懂得怎样将概念和规则运用于与原先的学习情境相类似(即同一水平上的迁移)或完全不同的新情境中(纵向迁移)，达到掌握概念和规律，并产生新的高级规则，形成智慧技能→对自己的学习过程进行反思认知，明白自己是如何学习、整理、记忆，如何自我控制与调节的，获得和改进认知策略和学习策略→进行再学习、探索.

根据这样的认知规律，等腰三角形的单元学材：

3.5 在会学中建构学材，提高自学能力

什么是“会学”？

学生面对新问题，会分析、能迁移(即能联想已掌握的知识、技能、方法等，并用来分析和解决新问题)，能独立地探寻和选择解决问题的途径及依据，问题解决后，又能整合思维和操作的成果，内化为学习的潜能，并作新的迁移，在这一过程中，既获得了学习的乐趣，品尝了成功的喜悦，更增强了自主学习的信心，进一步提高了自学能力，这就是会学了.

例如，锐角三角函数的知识基础是“函数”概念(一个变化过程中，两个相关的变量，单值对应)和相似三角形的性质(相似三角形对应边的比相等)，学生有了“函数”和“相似三角形性质”的学习准备，在教师的点拨、引领下学生会学习新的数学对象——锐角三角函数，因而可以建构如下学材：

(1)引导学生发现直角三角形中锐角与两边比值之间的函数关系

①直角三角形的锐角大小一定时，三边中每两边的比值也一定(为定值).

直角三角形的大小变化，而锐角大小不变时，三边中每两边的比值不变.

分析：

因为 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，

所以 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

因为相似三角形对应边成比例，

所以，在直角三角形中，锐角一定时，三边中每两边的比值一定.

②当直角三角形的锐角大小变了，其每两边的比值随之改变，且锐角每取一个确定的值，每两边比就有唯一确定的值与锐角对应，因此锐角和两边的比值为函数关系，锐角是自变量，两边的比值是锐角的函数.

(2)定义锐角三角函数

锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角函数.

(3)通过直角三角形ABC中锐角A、B的三角函数的定义的研究，学生发现：

①一个锐角的正弦等于它的余角的余弦

一个锐角的余弦等于它的余角的正弦

一个锐角的正切和它的余角的正切互为倒数

②由含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义生成30°、45°、60°角的三角函数值表

③在特殊三角函数值表学生发现了正弦、余弦、正切函数的增减性.学生不仅达到了会学、学会，而且还学会了建构了锐角三角函数的知识框架，也就是我们常说的“先见森林”.

4 关于“学材再建构”问题的几点建议

(1)“学材再建构”的本质是让学材中的各个相关知识点放到一个知识的结构(或者“框架”)之中，让学生在结构之中学习知识，并使他们所习得的知识实现结构化.单元教学是“学材再建构”的一种主要载体.从一定的角度看，单元的知识其实也是一个“知识点”，它一定置身于更大的知识结构或框架中；也是在这个意义上，我们可以说，每一个单元其实都是更大结构中的“点”或“小截面”.我们可以也应该引导学生对结构的层级性有所了解；而最关键的是，作为数学教师的我们，不能井蛙见底，陷入一隅，见点而不见面，见面而难见体.我们要有更大的视野，更大的“结构观”，这就是我们常说的“高观念”.既要有“高观念”，也要有“低起点”，如此，我们才能统揽数学教学的全局，让自己成为一个“智慧型的教师”，让学生成为一个“智慧型的学生”.

(2)“学材再建构”不只是教师的行为，不只是教师对教材进行的重新组合，重新调整；在“自学·议论·引导”教学法中，学生同样要努力成为“再建构”的主体，或者说，教师要千方百计创造条件，促成学生成为“再建构”的主体.只有教师对结构进行梳理与呈现，这还不够，教师要把这样的学习权利更多地交给学生，或者与他们分享.让学生进行“再建构”，这确实是有较大难度的，但我们既要引导他们，示之以法；还要“倒逼”他们，让他们从不会走向会，从较为陌生的建构者逐步走向熟练的建构者，在这一过程中，我们应该允许学生尝试建构，尝试错误，他们由此渐渐形成整体观念、通盘意识，这才是最重要的，有了这样的观念和意识，这对于他们今后系统地学习数学知识，以及用联系的观点看待具体的数学知识、看待整体的知识结构都是大有裨益的.概括地说，我们要通过“教结构”而让学生学会“用结构”.

(3)整体建构知识之间的关系，这应该是数学核心素养的一种重要体现和表现.在这一过程中，我们可以引进“思维导图”建构的学习方法.我们赞同一种观点，“学生学习要培训，学生要学会做学生”.关于“思维导图”，关于单元知识的重新梳理，乃至更大范畴之内的知识“再建构”，我们都可以利用一定的课时，对学生进行相关的培训，这一定是“磨刀不误砍柴功”之举，是得能偿失的.

(4)学生对“学材”进行“再建构”时，按理说应该是先总后分的，但当学生还没有掌握“再建构”的初步本领时，我们可以让他们在学习单元内的具体知识之后再由分到总，把具体的知识点放到整个的“思维导图”或者整体的知识结构内，这样一个过程也能促进他们明白具体某一或某些知识在单元或者整个知识体系中的位置或地位，有了如此的训练之后，他们必将慢慢学会先总后分式的“再建构”.如此训练，符合学习要循序渐进的规律或道理.