平面几何教学的新视角
——“示以思维”——基于章建跃先生对“研究三角形”的过程分析

邱 冬 王光明

(天津师范大学教师教育学院 300387)

章建跃先生在已经发表的文章中有为数不少的关于中小学数学教学研究，均引有较大的反响[1～4].其范围涉及中小学代数、几何、概率统计、函数等领域的教学研究，其中关于平面几何教学的研究有这么两篇，《中学数学课程教材改革的钟摆——以平面几何为例》指明了平面几何从清末到目前的学习要求，表明平面几何教学的必要性[5]，《新中国中学数学教材内容变革举要》中指出了平面几何与时俱进的教育价值——培养逻辑推理能力和空间想象能力[6].在天津师范大学承办的“国培”计划——教育部示范性项目培训团队研修项目班上，章先生以“三角形”研究为例，针对目前平面几何教学思维培养的缺失，提出了几何教学之道.

1 问题提出

数学是关于思维的科学，数学的独特育人功能主要在培养学生的思维，而平面几何在培养学生的思维能力上是不能替代的.傅种孙先生指出“平面几何的教学不在知其然，而在知其所以然，不在知其所以然而在何由以知其所以然.几何的教学在于启发学生，示以思维之道尔”表明平面几何教学的关键在于思维的可视.目前关于平面几何的教学文献成果不少，如，游安军指出平面几何教学要考虑到几何学科的特点、学生思维特征、注意几何教学难点[7]；邓安邦等人指出解决平面几何问题的发现法教学存在费时效果不尽如人意的观点[8]；邹楚林从以几何直观为基础、用变化的观点来探索图形的度量性质和位置关系、注重探索与证明的有机结合、强调模型思想的渗透、重视空间观念培养五个方面讨论了平面几何教学的重要性及作用[9].以上这些文献都谈论到或者强调了平面几何教学对于数学思维培养的重要性，其角度是从更为宏观的角度指导平面几何教学的意义，却鲜有聚焦平面几何教学是如何体现数学思维培养过程的研究.宏观指导几何教学培养数学逻辑思维是必要的，但是可操作性不强，聚焦一个具体的平面几何思维的可视过程，将更有助于教师的教学工作.

2 “示以思维”及其作用

数学教育应当致力于促进学生更积极地去进行思考，数学思维显然就属于“长时间的思考”[10]，不静止孤立地研究一个问题，而是站在数学系统的角度有序思考，这既是数学学科本身的要求，也是学生思维发展的需要[11]，就是说思维是有序的，并且是站在数学系统角度可以适用的，而目前的平面几何教学情况如章建跃先生指出：“目前有的学生在学习完三角形后，要研究四边形和圆时却完全没有思路，”因此将“示以思维”定义为：在研究数学平面几何问题时，将逻辑性思考地过程建立成体系，并将此思维过程可视化.“示以思维”的方式能帮助学生构建起学习某一类型知识的体系，这也就要求教师在进行教学时要进行“示以思维”地教学，为学生建立起思维方法奠定基础，“几何教材呈现的方式是有一定逻辑顺序的(见图1)，使学生明白数学思维之道的关键点在于，首先了解研究对象的历史，然后明确研究目标，接着明确要达到目标的思路概要，最终能使思维之道发挥一般观念的引领作用”.结合章建跃先生对“三角形研究”的思维过程分析和“示以思维之道”的四个关键点，对平面几何教学进行说明.

图1 几何研究顺序

3 “示以思维”的平面三角形研究

三角形作为最简单的封闭图形，是研究几何的重要基础.在我国《义务教育课程标准(2011)》中，关于三角形的研究贯穿整个义务教育阶段，并且每个学段有不同的侧重(见表1)[12].

表1 三角形在义务教育阶段的课程内容

3.1 了解研究对象——背景

数学具有的抽象性会让人觉得“学而无用”，学习数学知识的作用是学生容易问而老师们最容易忽视的问题.对待这样一个问题章先生指出：教材与实际相联系.与实际相联系一般从与生活相联系和与数学相联系两个方面解释学习新知的必要性.从数学史的角度来看，如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加[13].三角形的发展要从三角学说起，三角学与天文学是密不可分的，它是对天文观察结果进行推算的方法，1450年作为球面三角与平面三角的时间分界点，在此后为了间接测量、测绘平面三角形从球面三角形中独立出来[14]；而从数学背景来看，三角形是最基本的封闭图形，四边形仅仅只增加了一条边，但可组成许多形状不同的四边形，所以平面图形的性质研究往往要从三角形开始.

3.2 认识研究对象——定义

做研究，研究对象、研究内容、所有的关键词都要有明确的定义[15].首先，数学上的研究对象是现实生活中不存在的，研究对象是指源于现实而抽象出来的.当抽象出一个数学研究对象并且能用数学的方式表示时即为对该研究对象下定义.在数学上，对抽象出一个的数学对象表示有多种形式，有语言、符号和图形，抽象出三角形这个研究对象，那就是给三角形进行了定义.

其次，对几何图形进行研究，是指对一个数学对象进行研究，那么几何图形就是研究对象.而研究对象与研究内容二者并不相同.研究对象是几何图形，研究内容则是该几何图形的相关内容.对三角形的研究，三角形就作为研究对象，而对三角形展开研究则是属于研究内容.

如何了解是否认识研究对象呢？在数学上，对象定义之后，紧接着会给出三角形的符号表示，这个符号也称为研究对象的表示，但符号表示有所不同，可能是符号，也可能是图形.当学生面对一个具体问题时，如果能把它翻译成为语言、符号、图形，就表示学生对该问题的理解到位了，即当学生能使用语言、符号和图形等形式表示出三角形那就表示学生已经认识了三角形这个研究对象，并且可以开始进行下一步的学习.

3.3 理解研究对象——分类与性质

认识一个研究对象之后，就是得到了该研究对象的定义，获得定义就知道这个几何图形的一些基本特征和内涵.例如：三角形是由三条线段首尾连接而成的平面图形.这是明确三角形有三条边，首位顺次连接的封闭图形则表示图形有角.章建跃先生指出：“得知图形有边有角，自然而然的就会想到，它们之间有没有什么关系.这就是性质研究.”几何最重要的就是性质的研究，但是“‘性质就是一类事物共有的特性’这样的说法过于宏观，在具体思考中没有可操作性”，所以针对“性质是什么，需要根据具体内容进行归纳.”有关于几何性质是指要素和要素之间确定的关系，研究几何图形性质的基本方法也就是研究几何图形的构成要素之间的相互关系(包括位置关系、大小关系等).

要素有不同，并且要素与要素之间的关系有所差别.要素分为组成要素和相关要素，正如章先生所说“数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律”.组成要素是指组成几何图形必不可少的要素，而相关要素则是指不是几何图形的必需要素但是又与几何图形有关的要素.

关系研究，就有必要分类，组成元素、相关元素内部会存在关系，此外组成元素与相关元素之间也会存在关系.基于抽象结构，一个数学结构的具体例子不胜枚举，但按照某种条件对它们进行分类，可以确定一种研究这个结构的逻辑顺序，从数学上来说就是各个击破，将复杂的图形分解成最基本的图形，从最简单的图形开始“击破”，然后再形成一个新的方法来证明关于这个结构的结果，这就是研究几何性质的基本方法.三角形的性质研究顺序如下：

在一个或者一类三角形的研究中，首先关注的是组成要素内部的关系，通过对边和角的大小研究，学生可以清晰地知道类似“两边之和大于第三边”、“三角形内角和等于180°”等这些性质；然后再关注相关要素内部的关系，通过对相关要素“高线”、“中线”、“外角”、“角平分线”等进行研究，可以得到类似“三线合一”等三角形的性质，当然对于一些三角形还要关注组成要素和相关要素之间的关系.接下来就要进行在两个或者两类三角形中的研究.这类型的研究关注的是两个或者两类三角形的大小关系、形状差异.形状有相等，即全等关系，也存在形状不等中的相似关系(见表2).以上都是从三角形定性研究的角度出发，然后就可以过渡到定量的研究中.定量化的研究问题就有很多了，而三角形的研究也是从小学开始一直研究到高中，甚至是大学的数学专业之中.

表2 义务教育教科书 数学[16]

这样的思维模式具有一定的逻辑顺序，并且可以形成一个研究几何问题的模式：组成要素与相关要素间的分类——研究组成要素——研究相关要素——一个、一类或者多个、多类几何图形之间的比较，当形成一定的模式之后可以进行迁移，由于思维模式是按照一定的逻辑顺序进行所以其迁移性很强，在三角形学习中使用这一套模式，在后期学习四边形和圆等平面图形时就有路可循.

3.4 应用研究对象——几何图形间的联系

如章建跃先生所说：“数学独特的育人功能，首先是思维，特别是逻辑思维.要使学生学会思考，特别是学会有逻辑的思考、创造性的思考.”研究数学问题是要重视逻辑顺序并按逻辑展开，因为知识总是有一定逻辑体系的，对一个数学对象进行完整的研究，然后将这个研究过程按照一定的逻辑进行模式化，有利于学生学习迁移的发生.几何研究在教材中是按照一定的逻辑顺序呈现的(见图1)，依据我们如上所讨论的环节，学生在研究一个完整的几何图形时往往也会有相似的逻辑顺序，采用已经形成的思维模式迁移到后期的几何图形学习，能使学生顺利进行平行四边形和圆等图形的学习.

平面几何的教学在于启发学生，示以思维之道尔.这是为了帮助学生奠定一个研究数学问题的思维方法.在“示以思维”的平面几何教学中，揭示了对研究对象的背景、研究对象的定义、对研究对象的分类为前提的性质研究，最终形成一个研究数学问题的思维体系，体现了“思维之道”.期望教师在教学之前，对研究数学问题，研究平面几何问题有一个整体的思维过程，明确研究几何问题是一个连续的思维过程，是帮助学生形成研究几何问题的逻辑思维体系.在进行教学之时，首先是了解研究对象的背景，认识研究对象的定义，明确对象的定义包含对象的表示方式；其次依据几何图形的组成要素和相关要素分类，再研究性质的问题；然后整理教学和学生学习的逻辑思维顺序，真正做到“示以思维之道”帮助学生建立起思维体系，为发生学习迁移奠定基础.