基于MATLAB环境下PCR仪变温系统的PID参数整定

■ 文/ 公安部第一研究所 李子晓 范志永 张涛

关键字：PCR仪 温度控制 PID参数整定 MATLAB仿真

1 引言

聚合酶链式反应（Polymerase Chain Reaction，PCR）是一种在体外快速扩增DNA片段的技术，该技术可以从复杂的DNA分子中选择性地对某一段的序列复制扩增，广泛应用于生物科研和临床，成为分子生物学研究的最重要技术之一。PCR仪是基于PCR技术的一种重要的科学仪器，为PCR反应提供条件，可以自动完成PCR反应。该仪器应用于生命科学研究、临床诊断和法医鉴定等多个领域，作为基因扩增分析的首选设备。

PCR技术是在试管中进行DNA复制，原理与DNA的天然复制过程基本类似，主要由变性、退火和延伸三个基本反应步骤组成：模板或扩增形成的DNA片段加热至94℃左右并保持一定时间后，双链变成两条单链，以便于引物结合；温度降低至55℃左右时，引物与模板DNA单链的互补序列配对结合；样品温度上升至72℃左右保持数分钟，在聚合酶的作用下合成一条与模板DNA链互补的链。上述三个步骤循环一次后，DNA数量增加一倍，随着循环次数的增加，即实现DNA的体外大量扩增。

在三个步骤中影响PCR反应的因素有温度、时间和循环次数等，而PCR仪的性能指标又包括温度控制指标和荧光检测系统指标两类。由此，温度对于PCR反应至关重要，温度控制是PCR技术的核心，温度指标是PCR仪性能指标的重要标志。一个PCR的变温系统要取得良好的控温效果，需要优化变温速率和温度控制精度两个因素。因此，需要对温度控制算法进行研究。

2 PID控制及参数整定

反馈是控制理论的革命性成果，而PID控制是迄今为止应用最为普遍和成功的控制算法之一。PID算法凭借其结构简单易实现、良好稳定性、工作可靠等优点在过程控制、航空领域、仪器仪表等领域有广泛的应用。著名学者Astrom曾指出：“在过程控制应用领域，95%的控制器是PID类型的控制器。”这表明了PID控制器在过程控制应用领域中的统治地位。对于任何需要控制的问题，PID控制是首选。可以证明，对于系统特性为Ke^(-τs)/(Ts+1)和Ke^(-τs)/(T1s+1)(T2s+1)的控制对象，PID控制是一种最优的控制算法。因此，选用PID控制对PCR仪的变温系统进行控制调节，以此达到PCR仪的温度指标要求。

2.1 PID控制原理

PID控制器是一种线性控制器，由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成，输入量与输出量的关系如式（1）所示。

其中，e(t)表示给定值r(t)与实际输出值y(t)之间的偏差，Kp为比例系数、Ti为积分时间常数、Td为微分时间常数，将偏差按比例、积分和微分通过线性组合构成控制量u(t)，对被控对象进行控制。PID控制系统的原理如图1所示。

图1 PID控制系统原理

离散系统中的PID表示方式如式（2）所示

其中，u(k)为采样时刻k的输出量，e(k)、e(k－1)分别为采样时刻k、k－1时的偏差量，T为采样周期。

2.2 控制器参数

2.2.1 比例系数Kp

比例系数Kp可以成比例地反应偏差信号。一旦产生偏差，控制器立即产生控制作用，以减小偏差。增大比例系数Kp，会加快系统的响应速度，减小系统的稳态误差，但过大会使系统产生超调。 若比例系数太小，又会使系统的动作迟缓。

2.2.2 积分时间常数Ti

积分单元主要用于消除误差，提高系统的无差度。增大积分时间常数Ti，有利于减小超调和振荡，使系统更稳定。若积分时间常数太小会降低系统的稳定性。

2.2.3 微分时间常数Td

微分单元反应偏差量的变化趋势。微分时间常数Td偏大或偏小时，系统的超调量都较大，调节时间仍然较长。只有合适的微分时间常数，才能获得比较满意的过渡过程。

从PID控制器参数的作用可以看出，3个参数会直接影响控制效果。所以要取得较好的控制效果，就需要对比例、积分、微分3个控制单元进行调节。

2.3 临界振荡方法

早在1942年，Ziegler和Nichols就提出了基于闭环控制试验来获取被控过程模型的特征参数并用特征参数确定PID控制器参数的方法，即ZN闭环整定方法。PID控制器的ZN闭环整定方法是一种利用控制系统临界振荡特性的方法。由于控制器只在比例控制下，系统临界振荡特性直接能反应被控过程的动态特性，因此临界振荡特性参数可直接当作被控过程的数学模型来使用。

基于临界振荡闭环试验的PID控制器参数整定公式如表1所示。表中Ku为临界振荡时控制器比例增益，Tu为控制系统临界振荡周期。

表1 基于临界振荡闭环试验的PID控制器参数整定ZN公式

用临界振荡法整定PID参数的步骤如下：

1）将控制器的积分时间常数置于最大(Ti=∞)，微分时间常数Td置零(Td=0)，比例系数Kp置为适当的值，使系统进入稳定运行。

2）将比例增益Kp逐渐增大，直至得到等幅振荡，记下此时的临界增益Ku和临界振荡周期Tu值。

3）根据Ku和Tu值，按照表1中的参数整定公式和公式（2），计算得出控制器各个参数，即Kp、Ki和Kd的值。

3 仿真及实验

3.1 PCR仪变温系统的数学模型

在PCR变温系统中采用半导体致冷片（Thermoelectric Cooler，TEC）进行加热和制冷。它与传统的加热、制冷方式略有不同，具有双向工作的特性，加热和制冷面的工作状态与工作电流的极性相关，可实现一体加热、制冷两种操作。

在PCR 仪变温系统中，半导体制冷片产生或吸收热量，试管、试液及样品块组成的系统吸收或释放热量。假定试管和试液组成系统的温度在横截面上均匀分布，可以对系统进行一维传热简化，同一截面上的温度相同。假设试管和试液的系统总热容为C，则根据传热学方程可得：

其中，Tc为样品块温度，假设样品块温度与半导体制冷片表面温度相等，Qc为样品块与周围发生热交换的热量，Q为加热（或制冷）时半导体制冷片流向样品块的热量。由半导体制冷片的热电效应的热量产生公式可知，在恒电流I作用下，半导体制冷片的纯制热量为:

纯制冷量为：

其中，αab是塞贝克系数，与材料有关，R是半导体制冷片电阻，K是半导体制冷片的总电导。由式（4）或式（5）可知，Q与I是非线性的关系，如果I产生增量ΔI，相应的Q产生增量ΔQ，又因为系统是迟滞系统，所以可以认为Tc不变。将式（4）和式（5）在I处用泰勒级数展开，可得:

式中: f是Q与I之间的方程，当ΔI非常小时，可以忽略式（6）中2次方及2次方以上的项，则式（6）可简化为:

由传热学原理可知，假设样品块的热阻为Θ ，则样品块的热损失为:

当半导体制冷片在单位时间内加热（或制冷）的过渡过程中有增量:

将式（7）、式（8）、式（9）代入式（3）中可得微分方程为:

上式就是PCR仪变温系统的简化数学模型，在两边做拉普拉斯变化即可得到系统的传递函数为:

式中: K=K0Θ ，T=CΘ 。考虑到样品块与试管、试管与试液之间传热导致的温度滞后，在式（11）中加入一个延迟时间τ，则PCR仪变温系统的传递函数为:

实际工程中，大多数的温度控制对象都被描述成一阶惯性滞后系统。

3.2 PID参数整定仿真

根据上一节中的PCR仪变温系统的传递函数公式，不失一般性，本文取K=5，T=10，τ=2。则该变温系统的传递函数为：

利用MATLAB软件，在Simulink中搭建传递函数为式（13）的系统控制框图。并按照临界振荡法对该系统的PID参数进行整定。

1）搭建系统方框图

图2 系统模型框图

2）临界振荡法整定PID

参照临界振荡法整定PID参数的步骤，逐步增大比例增益Kp。在Simulink环境下实现的方法是：先选取较大的比例增益Kp，使系统出现不稳定的增幅振荡；再采用折半取中的方法寻找临界增益，若系统依旧是不稳定的增幅振荡，则继续取中值直至出现减幅振荡，此时应加大Kp值来寻找临界增益值。当Kp=1.7时系统出现等幅振荡，因此临界增益Ku=1.7。再从等幅振荡图中读出临界振荡周期Tu=7.5，最后再根据表1中PID参数整定公式求出：Kp=1.02，Ti=3.75，Td=0.9375。结合公式（2）可以得出：比例系数Kp=1.02，积分系数Ki=0.272，微分系数Kd=0.95625。

图3 等幅振荡的阶跃响应曲线

将整定后的参数代入到Simulink的系统模型中对应的增益中，可以绘制出系统的阶跃响应曲线。对整定后的参数进行校正，适当地降低积分系数Ki，可以减小系统的超调量和系统地过渡过程时间。如图4所示。由此可知，采用临界振荡法对PID参数整定，可以使系统较为快速的达到稳定状态，同时也说明该控制合理有效。

图4 临界振荡法整定的系统阶跃响应曲线

3.3 实验整定

在PCR仪控制程序中加入PID算法，按照临界振荡步骤对三个参数进行整定。将系统的稳定温度设为60℃，在系统的目标距离目标温度5℃之内开始进行PID控制，之前采用全功率加热，并实时记录系统的温度。从记录器中取出变温系统的温度数据导入计算机中，并绘出温度曲线图。逐步增大比例增益Kp，Ki和Kd设为0。绘制温度曲线如图5所示。

图5 稳态温度曲线图

当Kp=50000时，变温系统的稳态误差最小，并且误差基本控制在目标温度±1℃之间，因此选择Ku为50000，从图5中得出振荡周期Tu=2.74s。根据表1中的参数整定公式和公式（2）可以得出PID控制器的三个参数，Kp=30000、Ki=1094.59、Kd=205500，其中采样周期T=0.05s。 把整定后的参数写入程序中，对PCR仪的变温系统进行控制，得到温度曲线，如图6所示。

图6 PID控制温度曲线图

从图6中可以看出，临界振荡法整定后的PID参数对PCR仪变温系统的温度控制效果良好，温度上升速率较快，大于3℃/s，温度控制精度不大于0.1℃，超调量相对较大。因此，对整定后的参数进行校正，减小积分系数Ki，实验证明可以减小系统的超调量和过渡过程时间。

4 结语

本文采用临界振荡法对PCR仪变温系统的PID控制进行参数整定，并对PCR仪变温系统的数学模型和传递函数进行推导构造。在系统的传递函数基础上加载PID算法，在MATLAB环境下进行仿真，证明PID算法对PCR仪温度控制的有效性。在PCR仪的程序中加入PID算法，按照临界振荡法对其参数进行整定，并对整定参数进行适当校正，最终可实现实际升温速率大于3℃/s，温度控制精度达到0.1℃，实验结果也验证了该控制方法的有效性。