浅谈行列式的计算及其应用

胡婷?王涛

摘要：本文一方面主要归纳了行列式计算的几种方法；另一方面也介绍了行列式在代数中的应用。

关键词：行列式；计算方法；应用

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要對行列式的计算方法进行归纳总结，对行列式的应用做一定范围的探讨。行列式的理论和方法在诸多领域都起着十分重要的作用，它的的计算方法很多，在计算过程中，不同特征的行列式往往适用于不同的方法。本文主要研究其中最常用的也是最重要的方法，而每一种方法在计算过程中都有其独特之处。因此很有研究价值。

一、行列式的计算

（一）定义法

定义法一般适用于求解出现较多零且比较简单的行列式。如对角形行列式、三角行列式等。

例1 [1]：计算n阶行列式

解：由行列式的定义知，此行列式的非零项只有两项a11a22……am和a12a23……an-1，nan1，

故

（二）加边法

加边法适用于每一行（列）除了个别元素之外，其余元素均相同的行列式。

在原行列式中加一行一列，保持原行列式不变。其目的为了降价便于计算。

例8[2]：计算n阶行列式

解：

二、行列式的简单应用

行列式的理论和方法，在众多的科学领域有着广泛的应用，为解决很多数学问题提供了便捷。

（一）行列式在代数中的应用

1.证明多项式和定理

例17[3]：若n阶多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+……+anxn有n+1个不同的根，则f（x）=0。

证明：不妨设f（x）的不同根为xi=（i=1，2，……n+1），将其代入至f（x），得到的方程组如下：

从而获得以ai为未知量的方程的系数行列式

由克姆莱法则可知，该方程组只有零解，即：a0=a1=a2……an=0，则f（x）=0

参考文献：

[1] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.10.

[2] 张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.6.

[3] 北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.09.

作者简介：

胡婷（1995年—），女，汉族，四川宜宾人，硕士，成都理工大学管理科学学院，研究方向：初至拾取。