可逆矩阵的应用

雷黄蕊?邱杰

摘要：可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位。本文通过探讨矩阵可逆的推广以及在线性方程组中的应用，为以后学者关于可逆矩阵的研究奠定了基础。

关键词：可逆矩阵；推广；应用

一、可逆矩阵的推广——广义逆

考虑非齐次线性方程组：Ax=b（1.1）

其中A∈Cm×n，b∈Cm给定，而x∈Cn为待定向量，如果存在向量x使方程组（4.1）成立，则称方程组相容，否则称为不相容或矛盾方程组。

关于方程组求解问题，常见的有以下几种情况

方程组（1.1）相容时，求出其通解；

如果方程组相容，其解可能有无穷多个，求出具有極小范数的解，即（1.2）

其中为欧氏范数，满足该条件的解是唯一的，称为极小范数解。

如果方程组（1.1）不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出极值问题

（1.3）

的解x，其中为欧氏范数，称这个极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x称为矛盾方程组的最小二乘解。

一般说来，矛盾方程组的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数的解

（1.4）

是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。

广义逆矩阵与线性方程组的求解有着极为密切的关系，利用广义逆矩阵可以求出上述诸多问题的解。

二、逆矩阵在线性方程组中的应用——相容方程组的求解

对于线性方程组（1.1），若系数矩阵A非奇异，则x=A-1b就是方程组的唯一解，但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的逆不存在或无意义，但是我们可以利用广义逆矩阵来求方程组的解。

定理1.1 线性方程组（1.1）相容的充要条件是AA（1）b=b（1.5）

且其通解为x=A（1）b+（In-A（1）A）y（1.6）

其中y∈Cn任意。

证明：若方程组（1.1）相容，则设x是方程组的任意解，有

b=Ax=AA（1）Ax=AA（1）b，

反之，若AA（1）b=b，则A（1）b显然就是方程组的解，所以，线性方程组（1.1）相容的充要条件是AA（1）b=b.

当方程组（1.1）相容时，显然

Ax=AA（1）b（In-A（1）A）y=b，

即式（1.6）是方程组的解。

设x是方程组的任意解，则x=A（1）b+（In-A（1）A）x是方程组的解，因此，方程组的任意解都可以改写成式（1.6）的形式，所以，式（1.6）是方程组（1.1）的通解。

定理1.2 相容方程组（1.1）的极小范数解唯一，且这个唯一解在R（AE）中。

证明： 设Ax=b的极小范数解为x0，假设x0∈R（AH），

则由，

知x0=y0+y1，y0∈R（AH），y1∈N（A）且y1≠0，

于是‖x0‖2=‖y0‖2+‖y1‖2>‖y0‖2，

与x0时方程组的极小范数解矛盾，所以，假设不成立，极小范数解在R（AH）中。

若y0∈R（AH）且Ay0=b，

则A（x0-y0）=Ax0-Ay0=0，

即x0-y0∈N（A）=R┻（AH），又x0-y0∈R（AH），

故x0-y0∈R（AH）∩R┻（AH），

即x0x0-y0y0，所以，极小范数解唯一。

定理1.3 设方程组（1.1）相容，则

x=A（1，4）b

是极小范数解，其中A（1，4）∈A{1，4}.

证明： 方程组（1.1）相容，则b∈R（A），由定理1.1知，对任意的A（1，4）∈A{1，4}，x=A（1，4）b都是方程组的解，由b∈R（A），则存在u∈Cn使b=Au，

所以A（1，4）b=A（1，4）Au=（A（1，4）A）HuR（AH），

根据定理1.2，x=A（1，4）b是方程组（4.1）的唯一极小范数解。

结语

本文主要讨论了可逆矩阵的推广以及在线性方程中的应用.计算机中在处理大的数据时，常运用Matlab计算方法得出我们需要的结果，避免了在数学计算中的复杂性，这给矩阵理论的深入研究和实际应用提供了发展空间，同时也需要我们进一步的学习和探究。

参考文献：

[1]王龙，荆泽泉，王为. 可逆矩阵加密算法初步研究与应用设计[J]. 数字技术与应用，2012，09：111-112.

[2]姜同松. 矩阵的表示理论及其在数值计算中的应用[D].华东师范大学，2003.

作者简介：

雷黄蕊（1995年—），女，四川成都人，硕士，成都理工大学管理科学学院，研究方向：计算数学。

邱杰（1992年—），女，四川攀枝花人，硕士，成都理工大学管理科学学院，研究方向：科学计算与算法分析。