2018年高考全国（I）卷理科第20题解法探究

陈一星

摘 要 2018年高考全国（I）卷理科第20题主要考查了概率与统计中二项分布的性质及其应用、排列组合、复合函数求导、数学期望、分布列等知识点，同时考查了考生的计算能力、分析理解问题的能力，难度较大，区分度较高，效度较低，得分率相对较低。考查范围比较全面，知识涉及面广。本文给出该题的几种解法，与大家共勉。

关键词 解法 探究 思路分析

中图分类号：O123.1 文献标识码：A

题目：某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

（1）解法一：

20件产品恰有2件不合格品的概率为

因此

令，得。

当；。

所以的最大值点为

当然也可以只对于求导，或者是后再求导计算。

解法二（均值不等式）：

20件產品恰有2件不合格品的概率为

当且仅当，即时等号成立的最大值点为

（2）由（1）知，。

（i）解法一：

令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，则

，即，

所以

解法二：

设为200件中不合格数，，，

因为已经检查出2件为不合格，所以赔偿费用的期望为

检查费用是，所以

解法三：

由一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，那么依次类推一箱产品余下的180件中，应该有18件不合格品，所以赔偿费用的期望为

检查费用是，所以

解法四：

设为余下180件中每一件产品支付的费用，则的可能取值为0，25

所以余下180件赔偿费用的期望为

检查费用是，所以

解法五：

的可能取值为

所以x的分布列为

解法六：

令表示余下的180件产品中的不合格品件数，的可能取值为

所以

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。

由于，故应该对余下的产品作检验。

以上的几种解法，从不同的角度出发来解决问题.试题与去年相比贴近考生，符合师生期望，整体结构较为常规，内容上有所差异。注重考查学生的基本数学素养，全盘兼顾知识点，以及对理解与分析问题能力的考查，关注数学的应用意识与创新意识，除了具有良好的选拔功能，对中学数学教学也具有很好的导向作用，主要表现在注重基础，重视数学素养，加强数学与应用数学思维能力的培养。

本题难度系数较大，考查的知识点较多.考生只要从基础概念出发，详细的分析并理解题目的含义，列出式子，进行计算，也可以得到相应的分数。由此看来，在中学数学教学的过程中，落实双基教学，要注重概念的理解，从概念出发理解问题，培养学生的分析理解问题的能力，提高学生的计算能力.同时，全面深刻的理解并掌握课本上的内容，在理解的基础上加以记忆，最终才能达到相应的效果.教师在中学数学教学过程中，教师要对学生加以适当的引导，引导学生灵活运用、理性分析。

参考文献

[1] 普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1（B版）教师教学用书[M].人民教育出版社，2007.

[2] 盛祥耀等.高等数学[M].高等教育出版社，1985.