磁悬浮位置跟踪控制器最优设计与快速性分析

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(河南工程学院电气信息工程学院，河南 郑州 451191)

0 引言

磁悬浮支撑技术不存在直接的机械接触，因而具有无摩擦、低功耗和清洁无污染等优势，在航天、交通和工业等领域有广泛的应用前景[1-2]。悬浮技术以电磁学为基础，集控制、力学和计算机学科于一体。又由于磁悬浮系统具有典型的非线性和不完全建模特征，使得悬浮技术的研究备受关注。

依靠电磁力实现对象空间悬浮的控制问题经过解耦，可以将核心目标分解为单自由度悬浮位置跟踪的精准控制问题。PID是最为常用的控制技术。但传统PID控制存在参数整定困难，控制精度不高的问题，有很大的改进空间。比如，采用模型匹配方法，以LQ优化方法测算控制参数[3]，或者以模糊、神经网络等智能化方法对PID控制的不足进行补偿[4-6]。这些控制策略中，PID参数选择的优劣直接影响到悬浮控制效果，这又过度依赖于技术人员的调试经验。

以引力式垂直悬浮系统为验证装置，采用线性二次优化技术技术设计位置跟踪控制器。将控制能量引入性能指标函数的同时，降低了设计过程对已有经验的依赖程度。由于电磁场的非线性特征，磁悬浮控制技术对系统的快速性能要求非常高。因此，在给出设计方案并对所得方案的稳定性进行论证之后，引入状态变量最小衰减率的概念[7]，对控制律的快速性进行了分析。

针对单自由度磁悬浮系统的位置跟踪控制问题，首先建立系统动态数学模型，然后给出基于LQR的跟踪控制器设计过程，进而对所得控制器的稳定性和快速性进行分析。仿真数据验证了所得方案的有效性，并明确了系统响应速度与二次优化设计中加权参数的关系。

1 悬浮系统的动态模型

磁悬浮系统的控制原理如图1所示。被悬浮金属球在竖直方向受到电磁引力和重力的共同作用，二者达到平衡即可实现悬浮控制。其中，电磁引力F是间距x0+x和线圈电流i0+i的函数，有

(1)

k=μ0SN2/2。其中，μ0为空气磁导率，μ0=4π×10-7；S为铁芯的磁极面积；N为电磁线圈的匝数。

图1 悬浮装置原理分析

图1中的传感器实时监测间距变化x，所得悬浮位置信息经由控制器处理后给出线圈中所需调节电流强度i，进而改变电磁引力F的大小，以闭环方式实现金属球在平衡位置x0的稳定悬浮。系统原理表述主要包括悬浮球的运动方程和电流励磁的电路方程。在平衡位置做简化分析，可得系统的线性化模型为：

(2)

(3)

其中，kx为位移刚度，kx>0；ki为电流刚度，ki>0。

(4)

(5)

式(5)中2个判定阵的满秩则表明，该系统是能观且能控的。如何决策控制律，也即励磁电流u=i，使得金属球稳定悬浮到目标位置是本文的主要关注点。

2 位置跟踪控制器设计

设计控制律，使得金属球稳定、准确、快速地悬浮到目标位置。为了实现位置输出y=x1对给定目标r的跟踪控制，引入偏差变量e，记为：

(6)

将式(3)所示的状态方程重新标记为：

(7)

由式(6)和式(7)可得：

(8)

重新定义状态变量z=[z1z2]T，则有：

(9)

(10)

给定加权对称矩阵Q>和R>0，针对式(9)系数矩阵，求解黎卡提方程

(11)

得对称正定解P，可得最优状态反馈控制器方程

(12)

将式(12)代入式(10)可得：

(13)

至此，完成了式(4)所示悬浮系统的位置跟踪控制器设计。这里对所得控制器作2点说明：

3 闭环稳定性分析

为单自由度悬浮系统(4)设计的控制律(13)，目的是保证所得闭环系统的性能。这里对系统的稳定性和快速性进行分析。

渐进稳定性是基础要求。在李雅普诺夫意义下，通过式(9)和式(12)来分析所得系统的稳定性[7]。选择广义能量函数

V(x)=xTPx

(14)

沿闭环系统(9)的任意轨迹，能量函数的导数为：

(15)

矩阵P是黎卡提方程(11)的解，所以有：

<0(16)

至此，证明了所得闭环系统的稳定性。

悬浮系统对闭环系统的快速性要求较高。这里采用能量函数(14)的衰减速度来估计系统状态的响应速度。状态的最小衰减率定义为：

(17)

对于线性系统(9)，可得：

(18)

这是单位球面约束条件下的二次函数极值求解问题。这种非凸集约束的求解问题可以利用罚函数的思想重构后进行极值求解，得到：

(19)

λmin(·)为对应矩阵的最小特征值。

4 试验及数据分析

对所得控制律的有效性进行仿真分析。实验数据分析主要用来阐明2个问题：所得控制律能实现钢球在给定位置的稳定准确跟踪；位置跟踪的快速性可以通过加权矩阵的参数设计进行调节。

在MATLAB/Simulink仿真环境下,对所得控制方案的性能进行分析验证。实验用悬浮装置的主要参数如表1所示。

表1 悬浮系统主要参数列表

4.1 位置跟踪仿真

利用表1中数据计算位置刚度kx=43.956 4，电流刚度ki=1.119。采用式(13)所得控制律，搭建系统(4)的仿真结构如图2所示。

图2 系统仿真结构

(20)

由于权矩阵Q和R选取之后，才能唯一确定系统的最优反馈增益，所以系统的控制效果实际上由Q和R来决定。结合对状态控制性能和输入的指标要求，选择Q=[10 0;0 5]，由式(13)的命令计算得到K1=[78.692 6 3.386 7]， 这样就得到了式(12)所设计的控制器。利用图2中给出的仿真结构对所得控制器的控制效果进行仿真，得到钢球在目标位置处的浮动增量如图3所示。

图3 目标悬浮位置的跟踪

图3中的粗虚线为给定的目标位置增量，实线为悬浮对象的实际位置增量，要求悬浮小球在平衡位置及其以上0.01 m处实现稳定悬浮。本仿真中，小球的实际悬浮位置距离线圈下为0.02 m和0.01 m。通过对电磁线圈电流的调节实现小球在2个位置的往复切换。图3中的位置跟踪没有超调，调节时间为0.3 s，实现了跟踪快定位准的预定目标。

图4中给出的是钢球位置调节过程中的电磁线圈的电流增量。悬浮位置的提高需要加大电磁铁引力，此时在基准电流基础上增加0.4 A；而返回初始平衡位置则将电流增量归零，保持基础电流即可。因为小球悬浮目标位置突变时，不当的采样频率会计算得到突变的电流增量，可以采用电流增量限幅的方式来保障正常工作的设备免受冲击。

图4 控制电流的调节

为了进一步测试所得控制律对不同类型位置给定方式的跟踪效果，分别以方波、正弦波和锯齿波作为位置增量的给定信号进行仿真分析，得到如图5所示的跟踪结果。图5中仍以粗虚线表示给定的目标位置增量，以实线表示悬浮被控对象的实际位置增量。可以看出，钢球在目标平衡位置上下0.005 m范围内准确实现给定位置跟踪。这表明所得控制律可以适应多种形式的目标位置跟踪。

图5 不同类型目标位置的跟踪

需要说明的是，由于悬浮装置中电磁场具有很强的非线性特征，围绕平衡点所得的线性化模型就具有明显的局限性。以此为基础所得的控制律仅在以目标位置为重心的小范围内是有效的。以表1所给数据为基础的测试显示，该范围是平衡点的半径为0.009 5 m的邻域。

4.2 跟踪快速性分析

磁悬浮控制系统对快速性的要求非常高。系统控制信号的必须在足够短的时间内作出反应，否则被控钢球就会因超出电磁力有效控制范围而失效。这里对式(19)给出的最小衰减率进行测算。令R=1，分析系统反应速度与加权矩阵Q关键参数之间的关系。

选择Q为对角形矩阵，记为：

(21)

首先，令q2=5，而q1在10～100内取值，计算最小衰减率ηmin，结果如图6所示；然后，令q1=10，而q2在5～50内取值，计算最小衰减率ηmin，结果如图7所示。

由图6可知，q1越大，最小衰减率ηmin就越大，系统的快速性越好；由图7可知，q2越小，最小衰减率ηmin就越大，系统的快速性越好。由此可见，要想使得系统获得较快的反应速度，就要选择较大的q1或较小q2的进行反馈增益计算。需要说明的是，过度优化这2个参数在理论上虽然没有问题，仿真也没有问题，但是在实际实现时往往会因器件性能无法满足要求而不能完成。

图6 q1与最小衰减率的关系

图7 q2与最小衰减率的关系

5 结束语

单自由度悬浮球的位置跟踪控制是磁悬浮系统的关键控制技术。文中以二次最优方法完成了系统反馈控制器的设计，并在李雅普诺夫意义下证明了所得控制方案的稳定性。仿真结果表明，所得控制律能够实现钢球在目标位置的稳定悬浮，并能在小范围内顺利进行位置切换跟踪。进一步基于最小衰减率进行系统快速性讨论，明确了设计中加权矩阵选取与悬浮系统快速性的关系。为磁悬浮位置跟踪控制器设计中的加权系数选择提供了参考。