关注数列性质，探究数列问题

王佩其

等差数列与等比数列有一些值得注意的性质特征，这些性质特征是我们巧妙解题的突破口，也是优化问题解题过程的“绿色通道”，让我们一起来探究.

一、“子数列”性质的应用

评注 本例是等差数列“子数列”性质中“等距抽取”问题，分析的关键在于新数列中的项是从原等差数列中“等距”抽取出来的，故仍成等差数列，但产生了新的公差.

例2 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是

（）

A. al，a3，a9成等比数列

B.a2，a3，a6成等比数列

C. a2，a4，a8成等比数列

D.a3，a6，a9成等比数列

思路探究 考察四个选项中的等比数列{a n}的子数列的下标成什么数列.

解 因为数列{a n}是等比数列，又3，6，9成等差数列，所以以a3，a6，a9。成等比数列.选D.

二、“下标和”性质的应用

评注 1.本例（1）的解法很多，其通法是用等比数列基本量的运算，但是这种方法有时会很麻烦，遇到此类问题时应优先考虑结合性质，以化繁为简.

2.等比数列的性质中，尤其以“下标和”性质应用最多，最灵活，但使用时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的不同，以免混淆致误，比较如下表：

三、数列前n项和的性质

例6 （1）已知等比数列{a n}中，前10项和Sl0=10，前20项和S20=30，求S30

（2） 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.

思路探究 （1）列出关于a1，q的方程组能求解吗？S10，S20- S10，S30- S20是否成等比数列？用这一性质能解决吗？（2）“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用等比数列前n项和的性质求解吗？

评注 解决本例有两种思路：用等比数列的前n项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性強，使计算简便.等比数列前n项和还有项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n}中，公比为q.