三种经典题型带你玩转勾股定理

王风池

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）

题型一：已知直角三角形的两边求第三边

【例1】在Rt△ABC中，a=6，b=8，求c.

解：①当∠C=90°时，由勾股定理得，

②当∠B=90°时，由勾股定理得，

题型二：勾股定理与面积

1.已知两边长求面积.

【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，则Rt△ABC的面积S=______.

解：在Rt△ABC中，a=3，c=5，则 b=4，

2.已知周长（a+b+c）和斜边长c，或已知（a+b）及c，求面积.

【例3】一直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为______.

解：在Rt△ABC中，

∵（a+b）2=a2+b2+2ab，c2=a2+b2，

∴（a+b）2-c2=2ab，

3.已知a、b、c（或已知a、b，根据勾股定理求出c），求高h.

【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，CD是斜边的高，求CD的长.

解：∵∠C=90°，AB为斜边，且BC=4，AB=5，

∴AC=3.

4.直线上摆正方形问题.

【例5】在直线l上依次摆放着七个正方形（如图1所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于 .

图1

解：为方便说明，在图上加字母A、B、C、D、E.

观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌ △BED（AAS），

∴BC=ED.

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，

即S1+S2=1，同理S3+S4=3．

∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.

题型三：勾股定理与折叠

【例6】如图2，有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.

图2

解：设CD=x，则BD=8-x.

∵△ADE是由△ACD翻折得到的，

∴AE=AC=6，∴BE=10-6=4.

在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，

即（8-x）2=42+x2，解得x=3.

∴CD=3.