页岩陶粒轻质混凝土双向叠合楼板受力性能试验及挠度计算分析

谷 倩，雷晓天，黄 超，赵端锋

(武汉理工大学 土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430070)

0 引 言

预制装配整体式叠合楼板是中国装配式建筑中普遍采用的一种楼板形式，具有施工速度快、免模板、整体性好和承载力高等特点[1]。目前，国内外装配式建筑中主要采用的是普通混凝土叠合楼板。页岩陶粒混凝土作为一种轻集料混凝土，具有轻质、高强、导热系数明显低于普通混凝土等特点[2-3]，将其应用于叠合楼板不仅能减轻楼板自重，而且可兼具优良的保温隔热性能。

目前国内外学者多围绕普通混凝土叠合楼板的受力性能开展研究。王元清等[4]提出了一种拼装式混凝土双向叠合楼板，并对其在均布荷载和集中荷载下的承载力与单向叠合楼板做了对比试验，结果表明，在均布荷载下双向叠合楼板具有良好的承载能力，在集中荷载下双向叠合楼板具有明显的双向传力性能。吴晓莉等[5]提出了一种干接头拼缝方式的双向叠合楼板，进行了足尺双向叠合楼板的静力堆载试验，结果表明采用该拼缝形式楼板的整体受力性能可靠，可作为结构楼板使用。周鲲鹏[6]设计了1块沿长跨布置预应力钢筋的混凝土叠合板，并使用静水加载方式对其进行了检测。试验结果表明预应力叠合板具有抗裂能力强、整体性好和承载力高的优点。徐天爽等[7]研究了几种叠合板接缝的传力性能，试验表明预制层钢筋在接缝处弯折并锚固于后浇层混凝土中的接缝形式具有良好的传力性能。汤磊等[8]研究了带三角钢筋桁架混凝土叠合板在均布荷载作用下的力学性能。试验表明，钢筋桁架和叠合面凿毛处理可以保证叠合面的抗剪能力，此类叠合板的裂缝开展方式和现浇板基本一致，但抗裂性能低于现浇板。Husain等[9]采用非线性有限元法对叠合板进行了大位移弹塑性研究，结果表明层间粗糙面处理的叠合板具有最大的极限承载力。

在混凝土双向板的挠度计算理论研究方面，Yang等[10]针对两对边简支和另外两对边采用6种不同支座约束形式的矩形混凝土板，提出了4阶偏微分挠度计算公式，其与经典的偏微分方程相似。冯然等[11]研究了承受均布荷载的四边固支和四边简支的混凝土双向板在正常使用阶段的挠度分析方法，采用有限元增量迭代混合法对双向板试件进行模拟，给出了挠度计算公式。吴方伯等[12-14]分别研究了两对边简支两对边固支、四边简支和一边固支三边简支的叠合板在均布荷载作用下的挠度变化，推导了挠度计算公式，但均未考虑固支端边梁扭转对挠度变化的因素。刘香等[15]进行了现浇板与带钢筋桁架的叠合板静载试验，并推导了刚度公式。结果表明叠合板刚度由于二次浇筑反而小于现浇板刚度，试验没有叠合板之间的横向对比，未考虑钢筋桁架对叠合板的刚度加强作用。Sohel等[16]通过对不同混凝土强度等级和连接件的SCS叠合板进行试验研究，分析了这种叠合板的抗弯性能和连接件的工作性能，提出了SCS叠合板承载力计算公式。Crisinel等[17]结合试验结果提出了一种叠合板的简化计算方法，计算值误差较小，为工程设计提供了依据。曹光荣[18]提出了四边约束的冷轧双翼变形钢筋混凝土双向板弹性阶段和带裂缝工作阶段的挠度计算公式，计算值与试验值吻合良好。杨海斌[19]根据钢筋混凝土双向板的双向受力特性，基于有限元分析结果和单向受弯构件截面刚度的计算方法，并考虑长短边边长比、荷载分配及板带刚度的影响等因素，提出了钢筋混凝土双向板挠度计算公式。

目前国内外关于页岩陶粒轻质混凝土叠合楼板的足尺试验和理论研究尚不多见。本文基于3块足尺页岩陶粒轻质混凝土双向叠合楼板试件和1块足尺页岩陶粒轻质混凝土现浇楼板试件的静力堆载试验结果，考虑轻质页岩陶粒混凝土的材料性能、叠合楼板的钢筋桁架设置以及双向叠合楼板的板端约束条件等因素对叠合楼板刚度和挠度的影响，按照弹性力学薄板理论推导页岩陶粒轻质混凝土双向叠合楼板的挠度计算公式，为页岩陶粒混凝土用于预制装配式混凝土楼盖体系提供试验和计算依据。

1 试验概况

1.1 试件设计与制作

试件为4块四边固支的双向叠合楼板，试件参数如表1所示。叠合楼板预制底板纵向受力钢筋采用直径8 mm的HRB400级钢筋，双向叠合楼板跨中位置板底及支座位置板面配筋均为8@200；为增强预制层与现浇层结合效果，叠合楼板预制底板顶面采用人工粗糙处理，并配置有钢筋桁架以提高叠合面的抗剪能力。所有试件均支承于240 mm厚普通烧结砖墙上，砖墙设有1.8 m高洞口，以便试验人员出入。试件尺寸及配筋如图1所示，其设计满足文献[20]，[21]的相关规定。

1.2 试验加载方案

试验采用分区格堆载的方式进行加载。为准确模拟均布荷载，预先在叠合楼板上表面画出堆载区格，每个区格之间保持100 mm的间距。加载时，低于活载标准值时用烧结砖加载，高于活载标准值时改用砂袋加载。本试验活载标准值取2 kPa，活载标准值前的每级荷载取0.4 kPa，活载标准值后的每级荷载取2 kPa，每级荷载持荷10 min，活载标准值下持荷30 min。

表1 试件参数Tab.1 Parameters of Specimens

1.3 测点布置与裂缝观测

根据试验目的，对双向叠合楼板跨中及支座挠度进行测量，其中挠度测点均位于叠合楼板1/2跨度处，靠近墙边的挠度测点距墙边80 mm。

根据挠度的突变来判断裂缝是否出现，采用肉眼观察及裂缝综合测试仪对裂缝的出现、分布进行观测，同时测量裂缝宽度，对裂缝的开展情况及过程做详细记录。

2 挠度测量结果及分析

当均布荷载加载至楼面活载标准值2 kPa时，叠合楼板试件跨中挠度均远小于相关规范限值。继续加载，试件B-CC-1，B-CL-1始终未开裂，由于后期砂袋堆载高度过大，为避免起拱效应，试验停止加载，停止加载时荷载值为32 kPa。此时，B-CC-1跨中挠度为2.74 mm，B-CL-1跨中挠度为2.99 mm。持荷12 h，跨中挠度变化甚微。

试件B-LL-2，B-L-X所用材料全部为页岩陶粒混凝土，在加载过程中出现开裂。B-LL-2开裂荷载为26 kPa，B-L-X开裂荷载为14 kPa。试件开裂后，用智能裂缝测宽仪测定了每级荷载下的最大裂缝宽度，试件B-LL-2在30 kPa时裂缝宽度为0.216 mm，B-L-X在20 kPa时裂缝宽度为0.243 mm，均小于正常使用极限状态限值，但试件最终未达到极限破坏。

试件的跨中荷载-挠度曲线如图2所示。由图2可知，当均布荷载小于25 kPa时，各试件的荷载-挠度曲线呈线性变化，表明各试件均处于弹性阶段。

3 双向叠合楼板变形分析

由于本次试验观测到双向叠合楼板的叠合面均未发生相对滑移，且具有弹性变形的特征，故双向叠合楼板可按经典弹性力学中的薄板弯曲理论进行受力分析，以文献[22]，[23]中的克希霍夫假定为基础，使问题得到简化。

3.1 叠合板中和轴高度

矩形薄板的小挠度弯曲问题以z方向挠度w(x,y)为基本未知量，在克希霍夫假定的前提下该问题为二维问题。文献[22]，[23]得出了关于挠度w的板弯曲控制微分方程，即

(1)

式中：q为薄板单位面积内的横向荷载；D为薄板的抗弯刚度，D=Et3/[12(1-ν2)]，E为材料的弹性模量，t为薄板厚度，ν为材料的泊松比，一般情况下取ν=0.2。

页岩陶粒混凝土叠合楼板是由2种不同的混凝土材料叠合而成，由《轻骨料混凝土结构技术规程》[24]可知，下层普通混凝土弹性模量E1大于上层页岩陶粒混凝土弹性模量E2，双材料叠合板受力简图如图3所示。图3中x方向为叠合板短跨方向，y方向为叠合板长跨方向，l0x为叠合板计算单元短跨方向计算长度，l0y为叠合板计算单元长跨方向计算长度，z方向为板厚方向，Asy为沿y方向纵筋的截面面积，ρy为沿y方向纵筋的配筋率，h0为中和轴距板底的距离，h为板厚，a0为叠合板纵筋合力作用点到板底边缘的距离，2种混凝土材料的泊松比ν均取为0.2。

由于板底与板面配筋相同，设x方向和y方向配筋率ρx，ρy之和为ρ，即ρx+ρy=ρ，则由文献[22]，[23]可得混凝土x，y方向的应力σx，σy分别为

(2)

(3)

式中：εx为混凝土沿x方向的应变；εy为混凝土沿y方向的应变。

(4)

(5)

式中：αE为钢筋与混凝土弹性模量的比值。

根据x，y方向混凝土和钢筋应力平衡，推导出中和轴距底板的距离h0的表达式为

h0={(E1+3E2)h+8(1-μ)ρ[E1(αE1-1)a0+

E2(αE2-1)(h-a0)]}/{4[E1+E2+2(1-μ)·

ρ(E1(αE1-1)+E2(αE2-1))]}

(6)

式中：Es为板纵筋弹性模量；αE1=Es/E1；αE2=Es/E2。

3.2 叠合板抗弯刚度

假设叠合板截面单位宽度x，y方向上的弯矩分别为Mx，My，扭矩为Mxy，由文献[22]，[23]得

E2(αE2-1)ρh

(7)

(8)

同理可得My，将Mx，My，Mxy分别代入板平衡微分方程，得

(9)

(10)

E1(αE1-1)+(h-h0-a0)2E2(αE2-1)]

(11)

类比普通薄板的小挠度弯曲控制微分方程，Deq为双材料叠合板的等效抗弯刚度。同理，相同材料的叠合板抗弯刚度D为

(12)

式中：Ec为相同材料叠合板混凝土弹性模量。

3.3 叠合板挠度表达式

矩形板在弹性受力阶段位移呈线性变化，因此可以应用叠加原理，将四边弹性转动支承的矩形板分解为1块四边简支矩形板和2块对边弹性转动约束板的叠加，如图4所示，其中M(x)为短边扭矩，M(y)为长边扭矩。将各拆分板的挠度叠加，便可求出原板的挠度表达式。

假设图4中3个拆分板的跨中挠度分别为w1，w2，w3，根据叠加原理，总的挠度表达式为

w(x,y)=w1+w2+w3

(13)

在矩形薄板问题中，可将挠度w(x,y)和均布荷载q(x,y)都展开成傅里叶级数，用三角函数的正交性解出待定系数。

设矩形板边长分别为a和b，四边支承条件均为简支，如图5所示。

由文献[22]，[23]得到四边简支、承受竖向均布荷载q(x,y)的矩形板挠度w1(x,y)计算公式，即

(14)

3.4 考虑边梁扭转对叠合板挠度的修正

试验过程中发现双向叠合板边界条件并非完全固支，而是有一定的转动。由弹性力学可知，边界支座转动对跨中挠度会产生较大影响，因此在计算时不可忽略边梁的转动。为考虑边梁转动对板跨中挠度的影响，假设边梁长度为a，梁上作用关于中点对称的分布扭矩Mt(x)，如图6所示。设材料的剪切模量为G，梁的扭转常数为JP，若梁的截面扭矩为Mt(x)，转角为φ，则对边梁任意截面长度s有

(15)

分布扭矩Mt(x)可以按三角级数展开，即

(16)

式中：Mt,m为三角级数展开系数。

(17)

(18)

图7为对边承受边梁扭转约束作用的双向板示意图，其中图7(a)为短边承受扭转约束，短边长为a，扭矩为M(x)，图7(b)为长边承受扭转约束，长边长为b，扭矩为M(y)。

针对图7(a)中边梁对短边的扭转约束作用，根据文献[22]，板的挠曲方程可表示为

(19)

常微分方程的通解Ym(y)可表示为

(20)

式中：Am，Bm，Cm，Dm为系数。

根据板的边界条件，令

(21)

则

(22)

式中：Mm为级数展开系数。

将式(20)，(22)代入式(19)得

(23)

同理，针对图7(b)中边梁对长边的扭转约束作用，令

(24)

则

(25)

式中：Mn为级数展开系数。

板在y=0和y=b处的转角φ可表示为

(26)

板的边缘负弯矩就是作用在边梁上的扭矩，因此二者的级数展开系数相同，即Mm=Mt,m。由数学分析可知，式(19)和式(24)所代表的级数收敛速度均很快，为计算方便，仅取级数第1项计算能够满足精度要求。本试验中，a=3 340 mm，b=3 540 mm，a/b≈1，可认为a=b。

当y=0，x=0.5a时，式(26)可表示为

(27)

同理，对于另外两对边承受分布扭矩的情况，有

(28)

根据式(27)，(28)可得

(29)

对于不同试件，边梁的抗扭刚度计算值如表2所示。

表2 试件抗弯刚度与抗扭刚度计算值Tab.2 Calculation Values of Bending Rigidity and Torsional Stiffness of Specimens

3.5 考虑钢筋桁架对叠合板刚度的修正

从图8可以看出，全页岩陶粒混凝土叠合板试件B-LL-2的初始刚度明显高于全页岩陶粒混凝土现浇板试件B-L-X，因此考虑叠合板中钢筋桁架和接缝内附加构造钢筋对叠合板刚度的贡献，在刚度计算中可将叠合板的等效抗弯刚度Deq乘以修正系数β，即

D′=βDeq

(30)

式中：D′为考虑钢筋桁架修正后的叠合板抗弯刚度。

试件B-L-X，B-LL-2荷载-挠度曲线(图2)的初始斜率之比取为1.2～1.3。

3.6 计算值与试验值对比

根据公式(19)，(24)，(25)计算结果，可以分别求出四边简支和考虑边梁扭转两对边承受分布弯矩的矩形板跨中挠度w1，w2和w3，再将其叠加，最后根据式(30)考虑钢筋桁架对叠合板刚度的修正，即可算出跨中挠度计算值。如前所述，仅取级数第1项便可获得较高的精度。双向叠合楼板跨中挠度计算值与试验值对比如图8所示。

4 结 语

(1)页岩陶粒混凝土叠合楼板和全现浇楼板在楼面活荷载标准值2.0 kPa作用下，挠度大小和裂缝宽度均满足现行国家标准中的限值要求，可作为结构楼板使用。

(2)试验结果表明，3块叠合楼板试件在荷载等级25 kPa之前，现浇楼板试件在荷载等级15 kPa之前，其荷载-挠度曲线呈明显线性，可以按弹性阶段理论进行计算分析。

(3)配置钢筋桁架的双向叠合楼板整体性良好，预制与现浇混凝土叠合面未发生界面滑移。叠合板中的钢筋桁架提高了叠合楼板的整体刚度，计算叠合楼板刚度时应考虑乘以修正系数。

(4)考虑页岩陶粒混凝土的材料特性、边梁扭转影响和钢筋桁架对叠合楼板刚度的贡献等因素，推导了页岩陶粒轻质混凝土双向叠合板弹性阶段的挠度计算公式，计算结果与试验结果吻合良好，可用于指导相关工程实践。