减少运算话策略，巧妙应用谈方法

韩文美

如果解决解析几何问题的起点和方法不恰当，往往会导致比较大的计算量，运算繁杂，导致解答时间冗长或不能完全解决问题，因此我们有必要优化解题过程，下面结合实例就解析几何初步中减少运算的几类常见策略加以剖析.

1.巧用特殊化

在解决解析几何初步的问题时往往可以把研究对象特殊化处理，如点的特殊位置、直线的特殊方程、位置关系的特殊化等，通过特殊化处理，可以极大地优化运算，减少运算量，

例1 已知圆O：x²+y²=1和点A（-2，0），若定点B（b，O）（b≠-2）和常数λ满足：对圆0上任意一点M，都有MB =AMA，则b= _____，λ=_______.

分析 常见的思路是设出点M的坐标，结合关系式MB =λMA及点在圆0上，建立相应的方程组来求解.

按以上思路解决，运算量大，我们不妨换一个解决途径.根据点M的任意性，可取一特殊点来处理也必然满足条件，从而减少运算，

点评 特殊化处理可以大大减少分析与处理问题的时间，减少计算量.同时也应注意，这里的特殊化只能用于填空题，而且还可能存在不唯一的风险，所以，如果有时间，还是需要我们根据结论反向验证，以确保万无一失.

2.巧设参变量

当某一具体问题的解决可能有多种设法（如设点的坐标、设斜率、设方程）时，在设参变量之前要作一个预判，如能设得恰到好处，解决问题时必能减少运算量.

例2过点P（o，1）作一条直线l，使得直线l被两条直线l₁：2x+y-8=0，l₂：x-3y+10=0所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.

分析 常见的思路是设出直线Z的斜率为k，写出方程，通过联立方程组分别求出直线l与l₁，l₂的交点坐标，再由点P为中点，根据中点坐标公式列出关于k的方程，解出k的值即可，当然要对斜率不存在的情况做一个简单的说明.

按以上思路解决，运算复杂，计算量大.换一条解决途径，除了确定直线的斜率外也可确定相应的交点坐标，利用关于点P的对称性质求解另一交点的坐标，从而解决问题，

解 设直线l与l₁的交点坐标为M（a，8-2a），则点M关于点P（0，1）的对称点N（-a，2a-6）在直线l₂：x-3y+10 =0上，可得-a-3（2a-6）+10 =0，解得a=4，则有M（4，0）.

那么直线l的方程为z+4y-4 =0.

点评 不同的设元，必定会产生不同的效果，而通过巧设参变量，可以使得运算量大大减少，优化解题过程，提升解题效益.

3.妙用几何性质

有时，在解题中充分挖掘和利用图形本身的平面几何性质，往往可以得到一些优美且简洁的解答.

例3 已知点P（1，2）在圆O：x²+y²=5上，A，B是圆0上与点P相异的两点，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB的斜率是否为定值？若是定值，请求出该定值;若不是定值，请说明理由.

分析 常见的思路是根据直线PA，PB的倾斜角互补知对应直线的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，写出直线PA的方程，与圆O的方程联立解出点A的坐标，同理解出点B的坐标，最后再求出直线AB的斜率，进而再判定与分析.

按以上思路解决，没有充分挖掘题目中的几何图形性质，运算繁杂且容易出错，而换一个解决角度，结合平面几何中的相关性质，利用对称性、圆的性质以及两直线垂直的关系来转化，简单易操作.

解 由于直线PA，PB的倾斜角互补，则直线PA，PB与x轴围成等腰三角形，

作点P关于z轴的对称点Q（点Q（1，-2）也在圆O上），连结OQ，

因为PQ平分∠APB，所以点Q为弧AB的中点，从而oo上⊥AB，

又点Q（l，-2），所以k_OQ=-2，于是k_AB=1/2为定值，

点评 充分挖掘解析几何初步中直线的倾斜角、斜率、截距等，圆中的圆心、半径等元素与对应的平面几何性质之间的关系，往往可以使得问题的解决更为直观，操作更为方便快捷.

4.妙用设而不求

具体解题时只把设置的未知量作为解决问题的桥梁，而不具体求出所设未知量即可达到破解问题的目的.这种设而不求的思维方法可以大大简化运算，提升效益，

例4从圆c：（x-1）²+（y-1）²=1外一点P（2，3）向该圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，试求直线AB的方程，

分析 常见的思路是利用直线的点斜式方程设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解对应的切线方程，分析求出相应的切点A，B的坐标再来求解直线AB的方程，

按以上思路解决，过程繁杂，运算量大，容易导致错误.换一个角度，利用圆的切线方程，我们可以简化运算.

解 设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则切线PA的方程为（x₁-1）（x-l）+（y₁-l）（y-1）=l.

而点P（2，3）在切线PA上，代人可得（x₁-1）（2-1）+（y₁-1）（3-1）=l，即x₁+2y₁=4，

同理可得x₂+2y₃=4，

由以上所求可知A，B坐标满足二元一次方程x+2y =4，故直线AB的方程为z+2y=4.

點评 设而不求是解析几何初步中解题的基本手段，需要做到：（l）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的，都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参，消参，而设参的原则是宜少不宜多，

减少解析几何初步运算的策略与方法还有很多，不同的问题有不同的策略与方法.我们不能停留在常规的计算上，关键是认真审题，看清问题的本源，寻找条件与题设之间的关系，这样才能有助于我们更好地、更简洁地解决问题.