聚焦轨迹中的“隐形圆”问题

何晓勤

近年来，在高考、模考中，经常会出现一类有关圆的问题，此类问题在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是隐藏在题目的条件中，需要我们通过分析和转化，从点的轨迹出发，得到圆或圆的方程，再利用圆的知识去求解，我们把此类问题称为“隐形圆”的轨迹问题.那么，常见的“隐形圆”的轨迹问题有哪些类型呢？我相信大家在看完下文之后一定能得到满意的答案.

一、利用圆的定义确定“隐形圆”

例1 如果圆（x-a）²+（y-a）²=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________.

分析 本题表面上好像是考查距离问题，但仔细分析可知，到原点的距离等于1的点的轨迹是以原点为圆心、半径为1的圆，于是本问题可转化为两圆相交问题去处理.

总结 一般地，如果根据已知条件能推导出动点P到定点C的距离为大于等于0的常数r（即PC=r），则根据圆的定义可知，动点P的轨迹是以C为圆心、r为半径的圆.

二、利用直径所对的圆心角等于90。确定“隐形圆”

例2 在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：kx-y+2=0与直线l₂：x+ky2=0相交于点P，則当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为____________.

分析 大家求解本题时的第一想法可能是联立直线l₁和l₂的方程解出点P，再将点P到直线x-y-4=0的距离转化为k的函数去求最值，但运算量很大;若仔细分析可知，动直线l₁和l₂分别过定点A和B，且互相垂直，即∠APB=90°，所以点P落在以AB为直径的圆C上，从而可将问题转化求圆C上的动点P到定直线x-y-4=0的距离的最值问题处理，

总结 一般地，若有∠APB =90°（即PA⊥PB，或k_PA⊥k_PB），则点P落在以AB为直径的圆C上， 三、利用动点P到两定点A，B的距离的平方和为定值确定“隐形圆”

例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-a）²+（y-a+2）²=1，点A（o，2），若圆C上存在点M，满足MA²+M0²=10，则实数a的取值范围是_____________.

分析 设出点M的坐标，由MA²+MO²=10可得M的轨迹方程，由轨迹方程可判断点M的轨迹是圆，从而可将原问题转化为两圆有公共点问题处理，

解 设M（x，y），由MA²+M0²=10，A（O，2），得x²+（y-1）²=4，而（x-a）²+（y-a+2）²=1，它们有公共点，则1≤a²+（a-3）²≤9，解得实数a的取值范围是[0，3].

总结 一般地，若动点P到两定点A，B的距离的平方和为定值（即PA²+PB²=定值），且点P的轨迹存在，则点P的轨迹为一个圆或一个点.

思考 若A，B，C，…为平面内的定点，动点P满足PA²+PB²+PC²+…一定值，且点P的轨迹存在，则点P的轨迹是什么？（答案：为一个圆或一个点）

变式 已知A（-1，4），B（2，1），圆C：（xa-a）²+（y-2）²=16，若圆C上存在唯一的点P，使得PA²+2PB²=24成立，则实数a的取值集合为_______.（参考答案：{-5，-1，3，7}）

提示 由PA︽+2PB︽=24同样可以得出点P的轨迹是一个圆，从而可转化两圆是相切的位置关系去处理.