基于超球面扰动的指导粒子群算法

茅继晨 杨闰

摘 要：粒子群算法（PSO）借助其原理简单、易于实现的特点，已被应用在诸多领域。为了改进基本PSO算法收敛精度低，易陷入局部最优的缺点，提出了一种改进的PSO算法。在种群迭代更新中，引入精英指导策略加快粒子的收敛速度；引入超球面扰动策略，加强种群摆脱局部最优的能力。通过高维多峰测试函数进行测试比较，验证了该算法的优越性和有效性。

关键词：粒子群算法；多种群初始化策略；指导策略；超球面扰动

中图分类号：TP181 文献标识码：A 文章编号：2095-1302（2018）08-00-03

0 引 言

1995年Kennedy和Eberhart首次提出了粒子群优化算

法（Particle Swarm Optimization，PSO）[1-2]，该算法自问世以来就被广泛应用于实际问题中。但随着优化问题越来越复杂，算法的性能改进变得日趋重要，许多学者都对其做了改进。例如混沌优化[3]、参数变异[4]、混合算法[5]、框架协同[6]等。这些改进方法都不同程度的提高了算法性能，但都存在局限性。受到启发，本文将使用多种优化策略取长补短，对算法性能进行改进。

1 改进粒子群算法

1.1 种群迭代

为了增强种群迭代的收敛精度和速度，从新种群中选出“精英”，对其他粒子的步进方向提供指导。“精英”由多个（本文取5个）适应度值最好的粒子组成，其他粒子位置的更新在“精英”的指导下完成。“精英”自身的位置仍按照原始公式进行更新。其余粒子位置的更新公式如下所示：

（1）

式中：elite（d）kmin和elite（d）kmax分别表示“精英”中第d维位置信息的最小值和最大值。随着种群迭代的进行，“精英”也要不断更新完善才能适应种群的指导要求。

1.2 超球面扰动

超球面坐标系统是一个抽象的高维球面坐标。将粒子信息用超球面坐标表示，R表示球面坐标的球面半径，φ表征角度，保存粒子每一维度的方向夹角。将“精英”的速度转化为超球面坐标，对半径R做扰动，再进行逆操作转回笛卡尔坐标。在超球面坐标做扰动的好处是只要对半径做一个扰动就可以改变粒子速度，帮助“精英”跳出局部最优，而φ值不变，相当于保留了“精英”在之前迭代中学习到的经验。具体转化过程如下：

（2）

2 粒子群算法步骤

粒子群算法步骤如下所示：

（1）种群初始化。

（2）计算适应度值，选取“精英”。

（3）粒子在“精英”的指导下更新，同时“精英”也不断更新完善。

（4）评估“精英”，判断是否需要做扰动，若是，则使用式（2）做扰动，否则进行下一步。

（5）判断结果是否符合停止条件，若不符合，则返回步骤（3）；若符合，则终止程序，输出最优解。

3 算法测试及结果分析

为了验证算法的有效性和优越性，通过一些经典的高维多峰测试函数来对算法的性能进行测试。测试函数见表1所列。

为了便于比较，选出函数f1～f4与其他算法进行对比。例如f1函数，在搜索区域内约有10n个局部最小值；f3函数有多个对称分布的全局最优点；f4则有几个不对称分布的全局最优点。为保证数据尽可能客观，本文保留文献[7-9]中的数据和曲线，并采用一样的设置：测试函数的维度为30，粒子25个，迭代次数为1 000，对每个测试函数独立运行25次[10]。将算法与PSO，EPSO[11]，FDRPSO[7]，HEAPSO[8]，CPSO-DA[9]，DPVCPSO[12]，TeamEA[10]等这些改进的PSO算法进行对比。

测试结果见表2所列。表中列出了每个算法对函数寻优的最佳值（Best）、最差值（Worst）、平均值（Mean）和标准差（Std）。从表中可以看到，在基本函数中，本文算法对f1，f4寻优的平均值最好，对f2和f3的寻优效果也在众多算法中名列前茅。

为了更加直观地展示本文算法的寻优效果，在图1中列出了HDGPSO与其他算法的收敛轨迹对比图。从图中可以看出，HDGPSO在多个函数的寻优过程中保持着较快的收敛速度，虽然在函数f1，f4中前期收敛速度没有TeamEA快，但是TeamEA算法在寻优的前半阶段保持着5个种群同时的并行优化，时间复杂度高，耗时长，就优化时间来说，本算法优势较明显。函数f2和TeamEA的收敛精度不相上下，但TeamEA结束收敛的速度较快，而HDGPSO大致保持着收敛的趋势，如果对收敛精度有要求，HDGPSO优势更加明显。

4 结 语

本文提出的基于超球面擾动的指导粒子群算法在多种改进策略的共同作用下，比原有粒子群算法的收敛速度和收敛精度都有所提高。通过一些高维多峰的函数测试，证明了HDGPSO对复杂函数的寻优有较好的效果。

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