对循环小数的粗浅研究

朱洪铭

摘 要：讨论了两数相除所得商的情况，证明了两数相除若是除不尽，则商必定为循环小数，同时给出了推论，商若为循环小数，其循环节的长度与除数p有关，并且长度最长是p-1。利用计算机研究了1/p的循环节的情况，封装了circle和circlen函数用以计算循环节及其长度。

关键词：循环小数；循环节；循环节的长度

一、问题的提出

由人教版小学数学五年级上册第33页“想一想：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？”引出了有限小数和无限小数的概念，而循环小数就是一种无限小数。看似顺理成章，但其中的一些问题却远没那么简单。

教材给出两题15÷16=0.9375，■，目的在于让学生发现如果两数相除所得的商不是整数，则结果要么是有限小数，要么是无限小数。事实上在计算15÷16时，学生已经发现这个商的小数位数挺多的，除到小数点后第4位才除尽，而在计算1.5÷7时，直至除到小数点后第8位才发现循环节，说明商是个循环小数，是一个无限小数。

为此难免引发如下疑问：1.5÷7的循环节已经这么长了，那会不会有另外的除法算式，它的商的循环节会更长？会不会有的除法算式它的商连循环节都找不到，那商就变成了无限不循环小数了？两个数的商若除不尽，结果真的会出现无限不循环的情况吗？

学生也难免会提出这样的问题，这时又该如何解释呢？哪怕不面向学生，这些问题对于数学教师来讲，也是有相当的研究价值的。

二、商的情况

用windows自带的计算器计算了相当数量的除法算式，发现商若除不尽，结果都为循环小数，不免引发猜想“两数相除若除不尽，则商必定为循环小数”。此猜想可转化为如下命题：

“有两数a，b（a，b为任意有限小数或整数，且a，b都不为0），已知a÷b=c，若c为无限小數，则c必为循环小数。”

下面给出证明：

证明：由a÷b=c，根据商不变的性质，必能转化为q÷p=c（q、p为整数）

在q÷p的过程中，由余数的定义可知，余数必定小于p（若q

定理1两数相除若除不尽，则商必定为循环小数。

推论1两整数q，p（q，p均不为0），若q÷p的商为循环小数，则其循环节的长度至多为p-1位。

三、循环节的长度

由推论1可知两数相除循环节的长度只与除数有关，因此这里只研究被除数是1，除数是整数的情况。利用windows自带的计算器计算1/p（1≤p≤30）的结果，整理如下表：

由上表可知，当p=2、4、5、8、10、16、20、25时，1/p都除得尽，结果为有限小数，循环节长度为0。当p=7、17、19、23、29时，1/p的结果不仅为循环小数，并且循环节长度达到最长p-1。而此时这些p的值都为质数。但并不是所有的质数p都具有这样的性质，如p=2、5时，1/p为有限小数；p=11、13时，1/p虽为循环小数，但循环节长度并未达到p-1。

细心观察后发现，2、4、5、8、10、16、20、25这些数，要么只含有质因数2，要么只含有质因数5，要么同时含有质因数2和5但不含其他质因数，也就是说这些p都可以写成2a5b（a，b为整数，且不同时为0）的形式，因此猜想当p形如2a5b（a，b为整数，且不同时为0）时，1/p的结果为有限小数。下面给出证明：

证明：已知■=0.5，■=0.2，因此（■）n与（■）n必为有限小数，若a=b，则1/p=■=■，■为有限小数。若a>b，则1/p=■=■=■，因■与■都为有限小数，所以1/p为有限小数。若a

定理2当正整数p形如2a5b（a，b为整数，且不同时为0）时，则1/p的结果为有限小数。

由上表可知，若p为除2、5外的质数，1/p的循环节会较长，有可能会达到p-1最大。由定理1的证明过程可知，只要能计算到小数点后第p位，必然能找到1/p的循环节。那么对于更大的质数p该采取什么办法呢？利用数学软件Mathematica，比如计算1/541保留600位有效数字，结果如下：

但是要用肉眼找到这个循环节却也是不容易的，此时有必要设计一段程序用以计算循环节和循环节的长度。

这里采用了ActionScript语言设计程序，具体代码如下：

■

利用函数circle和circlen就可计算当p为质数（2、5除外）时1/p的循环节与循环节的长度。

因为是数组，所以循环节的每一位用“，”隔开，循环节长为540，达到最长，与先前在mathematica中计算的结果吻合。

此外还可以通过函数circlen来筛选质数表，找出那些使得1/p的循环节长达到最长p-1的那些质数p。以100以内质数表（2、5除外）为例：

筛选结果如下：

符合条件的质数有7、17、19、23、29、47、59、61、97

但大部分质数p都不能使1/p的循环节长度达到p-1。

四、未解决的问题

1.虽然利用程序可以求出1/p的循环节及其长度，但是如果对于足够大的质数p，能否找到一种纯数学的算术方法来求得1/p的循环节长度，这个到目前为止没有结论。

2.质数始终是非常神秘的，究竟哪些质数p，能使得1/p的循环节长度达到p-1，这些质数p究竟有着怎样的规律，这个研究起来更是困难。

参考文献：

[1]张世德.循环小数的奇妙性质[J].河南师范大学学报（自然科学版），2002，30（3）：11-14.

[2]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，1992：232-248.