导数在高中数学解题中的运用分析

李奉沂

摘要：导数是微积分中的重要概念，而且在高考中占有十分重要的地位。导数，可以与函数、不等式和方程求根等知识相结合，达到化繁为简和使解题方式多样化的目的。因此，导数是高中数学中备受关注的重要部分。本文在导数含义的基础上，通过实例分析了导数在高中数学解题中的运用，以期提高人们对导数的认知。

关键词：导数；高中数学；解题；运用

一、导数的含义

导数是微积分中的重要概念。具体来说，就是函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量?x，（x0+?x）仍在这个邻域内时，那么函数就取得增量△y=f （x0+?x）-f（x0）；如果极限存在，那么这个极限就是函数y=f（x）在点x0处的导数。

二、导数在高中数学解题中的运用

导数，是数学微积分中的重要组成部分，而且在近几年的高考题目类型中，导数与函数、不等式、方程和解析几何等其他知识结合的题型越来越多，说明导数在高中数学解题中的运用越来越广泛。因此，作为高中生的我们，也要有综合运用导数解题的能力。接下来，让我们通过实例来讨论下导数在高中数学解题中的运用。

（一）导数在函数中的运用

不管是导数的引出还是定义都与函数有着不可分割的关系，从这个角度来说，导数是研究函数的有力工具，我们可以利用导数判断函数的单调性、求函数的最值。

1.利用导数判断函数的单调性

函数的单调性是函数的一个重要性质。利用定义法来判断函数的单调性是之前常用的方法，但定义法只适用于一些简单的函数，一旦遇到较复杂的函数，利用定义法判断单调性是非常繁琐的。因此，导数就成为判断函数单调性的有效方法。

例1：已知函数f（x）=lnx-ax+-1（aR），求当a≤时，f（x）的单调性。

∵函数f（x）=lnx-ax+-1，∴f（x）=-a+=，x（0，+）。令g（x）=ax2-x+1-a，x（0，+）。

（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x（0，+），所以当x（0，1）时，g（x）>0，f（x）<0，那么函数f（x）单调递减。当x（1，+）时，g（x）<0，f（x）>0，函数f（x）单调递增。

（2）当a≠0时，由f（x）=0得出g（x）=ax2-x+1-a=0，x1=1，x2=-1。当a=时，x1=x2，g（x）≥0恒成立，f（x）≤0，f（x）在（0，+）上单调递减。当01>0，此时x（0，1）时，g（x）>0，f（x）<0，那么函数f（x）单调递减。x（1，-1），g（x）<0，f（x）>0，函数f（x）单调递增。

综上所述，a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；

a=时，函数f（x）在（0，+）上单调递减；

0

2.利用导数求函数的最值

函数的最值问题一直是高中阶段数学学习的重难点。函数的最值包括函数的最大值与最小值，导数为函数最大值与最小值求解的问题提供了一种方法与思路。

例2：求函数f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最值。

根据f（x）=ln（1+x）-x2得出f（x）=-x。当f（x）=0求得x=1或x=-2。因为f（0）=0，f（1）=ln2->0，f（2）=ln3-10，所以函数f（x）=ln（1+x）-x2在[0，2]上的最大值是f（1）=ln2-，最小值是f（0）=0。

（二）导数在证明不等式中的运用

不等式的证明也是高中数学学习的重要内容，常用的方法有很多，而导数是一个行之有效的方法。它通过建立一个函数，再利用函数的性质，将一些不等式的证明过程化繁为简，提高我们的解题效率。利用导数证明不等式的方法很多，比如函数的性质、中值定理和泰勒公式等。下面以函数的单调性证明不等式为例，讨论导数在证明不等式中的运用。

例3：证明当x>1时，有ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

通过观察我们可以看出不等式可以变形为>，然后再利用函数的单调性就可以完成证明。

设函数f （x） =（x>1），那么f（x） ==

。∵1 < x < x+1，0f（x+1），即 >，于是ln2（x+1）>lnx·ln（x+2）。

（三）导数在解析几何中的运用

解析几何又称为坐标几何，是利用解析式来研究几何图形的一门学科。而利用导数的几何意义求曲线切线的斜率是导数在解析几何中的重要运用之一。

例4：求曲线y=和y=x2交点处的两条切线和x轴所围成的三角形的面积。

根据两条曲线y=和y=x2求得交点P（1，1），曲线y=在P点处的切线斜率是k1=ylx=1=-lx=1=-1，那么它的切线方程是l1：y=-（x-1）+1。曲线y=x2在P点处的切线斜率是k2=ylx=1=2xlx=1=2，那么它的切线方程是l2：y=2（x-1）+1。于是l1與x轴的交点A（2，0），l2与x轴的交点B（，0），所以围成的三角形的面积是SPAB=lABl·lyPl=。

三、总结

导数，作为高中数学学习的重要内容，并不是孤立存在的，而是与函数、不等式和解析几何等有着密切的关系。我们一定要认真学习导数，利用导数在数学解题中的广泛运用，从而提升我们做题的效率与质量。

参考文献：

[1]张华.浅谈高中数学导数的解题方法与策略[J]，新课程（下），2017（10）：55.

[2]邓茹月、王晓红.例解函数与导数综合题[J]，数理化学习（高中版），2018（3）.