圆锥曲线中遇到与斜率和或积有关的问题研究

梁英凡

摘要：主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生和斜率有關的定点问题，涉及到斜率和或积有关的问题，通过对该问题的研究，能对此类题有明确的解题方法。

关键词：圆锥曲线；斜率；定点；一元二次方程

·直线l交椭圆C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB两点.A（x1，y1）B（x2，y2）.椭圆C上任意一点P（x0，y0），连接PA.PB，若kpa+kpb=k（k≠0）则直线l过定点.那么这个定点（x，y）该怎么求呢？

设直线l的方程为α（x-x0）+β（y-y0）=1 ①

椭圆C：（x-x0+x0）2/a2+（y-y0+y0）2/b2=1

点P（x0，y0）满足x02/a2+y02/b2=1

将其代人C的方程，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）/a2+（y-y0）2+2y0（y-y0）/b2=0

将直线方程中1代换再带入，有

（x-x0）2+2x0（x-x0）[α（x-x0）+β（y-y0）]/a2+[（y-y0）2+2y0（y-y0）][α（x-x0）+β（y-y0）]/b2=0

将上式整理成关于（y-y0）的一元二次方程，有

（1+2yoβ/b2）（y-y0）2+[2x0β/a2+2yoα/b2]（x-x0）（y-y0）+（1+2xoα/a2）（x-x0）2=0（*）

欲得到有关斜率的表达式，将上式同时除以（x-x0）2

再将.A（x1，y1）B（x2，y2）带入，由kpa+kpb=k，得出结论即可

经过一番复杂的运算，我们发现了一个实际操作起来比较简洁的思路。有关于此，我们可应用到一些题目当中.

例题：（2017·全国I·21（2）椭圆C：x2/4+y2=1.直线l不经过点P2（0，1）且与椭圆C相交于A.B两点.若直线P2A于直线P2B斜率和为-1，证明：l过定点

我们用上述思路做一下：设A（x1，y1）B（x2，y2）.

直线l的方程αx+β（y-1）=1

椭圆C：x2/42+（y-1+1）2=1

展开再将1代换，有

x2/4+（y-1）2+2（y-1）[αx+β（y-1）]=0

将上式整理成关于（y-1）的一元二次方程，有

（1+2β）（y-1）2+2αx（y-1）+ x2/4=0

齐次化，上式除以x2，得

（1+2β）（y-1/x）2+2αx（y-1/x）+M=0

（其中M=1/4）[斜率和没必要算出来]

kP2A、kP2B为上述方程的两根

由韦达定理及已知条件，知

kP2A+kP2B=-2α/1+2β=-1

即 α=（1+2β）/2

带入直线l的方程，有

（1+2β）x/2+β（y-1）=1

整理成关于β的方程，得

（x+y-1）β+x/2=1

令x=2，x+y-1=0

得x=2，y=﹣1

故直线过定点（2，﹣1）

我们还可以将上述拓宽一下，将斜率和改为斜率积，如下

·直线l交椭圆C：x2/a2+y2/b2=1.（a>b>0）于AB两点.A（x1，y1）B（x2，y2）.椭圆C上任意一点P（x0，y0），连接PA.PB，若kpa·kpb=k（k≠0）则直线l过定点.那么此时定点（x，y）该怎么求呢？

其实思路与求斜率和的本质相同.（*）式在此同样适用，只不过将后面代为

kpa·kpb=k

再应用韦达定理，联立求出即可，在此不再证明

经过上述一番探讨，我们对椭圆中斜率的加和或乘积题有了更新的方法、更深的了解，做题时我们可先在心中有一个“预判”，明确了大致方向，认真书写，仔细计算，此类题应该不成是大碍。