直线参数方程常见的三种错解

洪亮

摘要：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。高考的选做题中必有一道参数方程和极坐标方程题，而这应该是学生得分的题目，但从教学中发现学生经常出错。以下是本人归纳的参数方程的错解，希望对学生有所帮助。

关键词：直线参数方程；参数的几何意义；标准形状

参数方程作为高考选做题中的一题，学生应该是很容易得分的，但是学生往往对此题错误较多，得不到满分，甚至得不到分，尤其是直线的参数方程，以下是直线的参数方程常见的错解。

经过点M0（x0， y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）

一、直线参数方程未化成标准形状

例1：在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2方程为，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于M、N两点，求的值。

（2）错解：由直线C2方程为得，直线C2的参数方程为（t为参数），将直线C2的参数方程代入曲线C1的普通方程 得3t 2-12t+8=0。

设M， N分别对应的参数为t1， t2则

所以

解析：此题求C2的参数方程是错误的，因为C2普通方程中的x的系数是直线倾斜角α的正切，既不是直线倾斜角α 正弦也不是余弦。而部分学生认为只要把直线的普通方程随便化成参数方程，不管它是不是直线参数方程的标准形状都可以代入，这就导致了错误的产生。

正解：直线C2的参数方程为（t为参数），且。将直线C2的参数方程代入曲线C1的普通方程 得

設M， N分别对应的参数为t1， t2则t1·t2=2

所以

二、直线参数方程中的t的几何意义不清楚

直线参数方程中参数t的几何意义是直线上的动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值。

例2：已知直线l：x+y-1=0与抛物线y= x2交于A， B两点，求线段AB的长和点M（-1，2）到A， B两点的距离之和。

解：因为直线l过定点M，且直线l的倾斜角为，所以它的参数方程是（t为参数）即（t为参数），把它代入抛物线的方程，得

设A， B分别对应的参数为t1， t2

则

错解：，

解析：本题学生出错的原因在于，未搞清参数t的几何意义，误认为，。

实际上从可以得出t1， t2是异号的，故

。

三、误把曲线的参数方程代入到直线的普通方程

例3：已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ+ ρsinθ=1，曲线C2：（t为参数）。设F（0，1），曲线C1、C2相交于不同的两点A， B，求

解：曲线C1的直角坐标方程为x+y-1=0

错解：把曲线C2：（t为参数）代入到曲线C1的直角坐标方程x+y-1=0得t 2+2t-1=0

设A， B分别对应的参数为t1， t2则

因为F（1，0）在曲线C1上，所以

解析：此题错在把曲线C2的参数方程代入到直线C1的直角坐标方程，所得的关于t的方程中的t并不是直线参数方程定义中的t。

正解：直线C1的参数方程为：（t为参数）代入到曲线C2的普通方程y2=4x得

设A， B分别对应的参数为t1， t2，

所以。

以上是本人在教学中发现的学生常见的直线参数方程的错解，当然还有不到之处。实际上只要学生在做题时牢牢把握直线参数方程的定义就不会出问题的。