概率中常见离散型随机变量的数字特征

刘权

摘要：本文主要围绕着离散型随机变量展开，第一部分主要讲述了几种取值有限的离散型随机变量和几种取值无限的离散型随机变量；第二部分主要利用随机变量常见数字特征的定义推导出了几种离散型随机变量的数字特征。

关键词：离散型；有限值随机变量；无限值随机变量；数字特征

一、常见离散型随机变量及其分类

（一）取值有限的离散型随机变量

1.伯努利分布

假设在一次伯努利试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，定义随机变量X1为，

我们称X1服从伯努利分布，记为X1～B（1， p）.

伯努利的概率分布为，

2.二项分布

二项分布是伯努利分布的推广，在n次伯努利试验中，我们定义随机变量X2为事件A发生的次数，则称随机变量X2服從二项分布，记作X2～B（n， p）.

随机变量X2的概率分布为，

3.超几何分布

假定在N件产品中有M件次品，其余产品为正品，在N件产品中随机抽取n件产品，记X3为次品件数，则称随机变量X3服从超几何分布，记作X3～H（N，n，M ）.

超几何分布的概率分布：

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（二）取值无限的离散型随机变量

1.几何分布

几何分布是典型的取值无限的离散型随机变量，无限次的伯努利试验中，首次试验成功出现在第X4次，则称随机变量X4服从几何分布，记作X4～G（ p）.

几何分布的概率分布为，

其中，k∈N *.

2.帕斯卡分布

帕斯卡分布是几何分布的推广，无限次的伯努利试验中，首次出现第r次成功所需进行的试验次数记为X5，则称随机变量X5服从帕斯卡分布，记作X5～Pa（ p，r）.

帕斯卡分布的概率分布为，

其中，k=r， r+1， ….

3.泊松分布

假设随机变量X6的可能取值为所有非负整数值，并且X6的概率分布为，

其中，λ>0，为常数，则称随机变量X6服从泊松分布，记作，X6～P（λ）.

由ex的麦克劳林级数展开式，

容易验证，

二、几种离散型随机变量的数字变量特征

随机变量常见的数字特征主要包括：数学期望、方差、协方差、相关系数和矩等。下文就本文第一部分的部分随机变量给出他们常见的数字特征。

（一）二项分布的数字特征

二项分布的数学期望推导如下，

关于一般随机变量的方差求法，

二项分布的方差推导如下，

（二）泊松分布的数字特征

泊松分布的数学期望推导如下，

泊松分布的方差推导如下，

可以看出泊松分布的一个重要性质是其数学期望和方差是相等的，都是λ.

（三）几何分布的数字特征

三、小节

随机变量作为概率论的最核心的内容，探讨它的数字特征显得非常重要。随机变量主要可以分为离散型随机变量和连续型随机变量，本文主要探讨的几种随机变量都是离散型的随机变量，这些离散型的随机变量也是非常重要的随机变量。

参考文献：

[1]王思俭.探公式，窥本质——二项分布、超几何分布的数学期望与方差公式探究[J].新高考：高二数学，2014（4）.

[2]曹四清.相映生辉的四种概率分布[J].中学生数理化（高考数学），2013（2）.

[3]唐锐光.超几何分布、二项分布的期望与方差公式的统一证法[J].数学通讯，2009（22）：24-24.