随机变量母函数在常见离散型随机变量的应用

刘奕君

摘要：母函数是处理整值随机变量的瑞士军刀。本文详细阐述了母函数的概念以及其和随机变量数学期望及方差的联系；并且利用随机变量的母函数给出了几个主要离散型随机变量的数学期望和方差。

关键词：整值随机变量；母函数；数学期望；方差

一、特殊离散型随机变量母函数的概念及性质

（一）整值随机变量和母函数

本小节主要介绍一种特殊的离散型随机变量及其母函数的概念和性质。

我们称取非负整数值的随机变量为整值随机变量，显然整值随机变量是一种离散型随机变量。对于整值随机变量，有一种处理方法很便于利用，这就是母函数法。

定义1 整值随机变量ξ的可能取值为0，1，2，…，对应的概率分别为p0，p1，p2…，则称

为随机变量ξ的母函数。

（二）随机变量母函数和随机变量数字特征的联系

关于一般离散型随机变量函数的数学期望有一个著名的统计学公式，由以下定理给出。

定理1（佚名统计学公式）若函数f （x）为连续函数，若离散型随机变量X的可能取值为x0，x1，x2，…，对应的概率分别为p0，p1，p2…，令随机变量Y为随机变量X的函数，即Y= f （X ），那么随机变量Y的数学期望为，

由佚名统计学公式，整值随机变量ξ的母函数可以写为，

整值随机变量母函数的一个重要应用是可以建立母函数和随机变量数字特征的联系，进而可以通过母函数给出随机变量的重要数字特征。

首先可以给出随机变量ξ母函数的导函数，

随机变量母函数的导函数在1处的导数即为该随机变量的数学期望，

随机变量母函数的二阶导数和随机变量的方差存在密切的联系，首先随机变量ξ母函数的二阶导数为，

由佚名统计学公式，随机变量ξ的母函数在1处的二阶导数为，

因此随机变量的方差和母函数的关系，

二、几种整值随机变量的母函及重要数字特征

（一）二项分布

二项分布是伯努利分布的推广，在n重独立重复试验中，记某事件A出现的概率为p，定义随机变量X1为某事件A发生的次数，则称随机变量X1服从二项分布，记作X1～B（n， p）.

随机变量X1的概率分布为，

随机变量X1的母函数为，

随机变量X1的母函数的一阶导数为，

由随机变量X1母函数的一阶导数可以给出随机变量X1的数学期望，

随机变量X1的母函数的二阶导数为，

由随机变量X1母函数的二阶导数可以给出随机变量X1的方差，

（二）几何分布

进行无穷次独立重复试验，设每次试验中事件B出现的概率为p，若将试验进行到出现一次事件B为止，以随机变量X2表示试验进行的总次数，则称X2服从几何分布，记作X2～G（ p）.

几何分布的概率分布为，

其中，k=1，2，3，….

随机变量X2的母函数为，

随机变量X2母函数的导数为，

随机变量X2母函数的二阶导数为，

随机变量X2的数学期望为，

随机变量X2的方差为，

（三）泊松分布

假设随机变量X3的可能取值为所有自然数，并且X3的概率分布为，

其中，λ>0 为正常数，则称随机变量X3服从泊松分布，记作，X3～P（λ）.

随机变量X3的母函数为，

随机变量X3母函数的导函数为，

随机变量X3的数学期望为，

随机变量X3母函数的二阶导函数为，

随机变量X3的方差为，

（四）帕斯卡分布

帕斯卡分布式几何分布的推广，在独立重复实验中，设每次试验中事件B出现的概率为p，若将试验进行到出现r次事件B为止，以随机变量X4表示试验进行的总次数，则称X4服从帕斯卡分布，记作X4～Pa（ p， r）.

帕斯卡分布的概率分布为，

随机变量X4的母函数为，

随机变量X4母函数的导函数为，

随机变量X4母函数的二阶导函数为，

随机变量X4的数学期望为，

随机变量X4的方差为，

三、小结

母函数法处理随机变量有很大的优势，使计算随机变量的数字特征变得容易，但同时也有其局限性，只有整值随机变量才有母函数；一般的随机变量可用随机变量的特征函数进行处理。

参考文献：

[1]庄光明，于兴江，刘启德，等.基于伯努利试验的概率分布及其应用[J].聊城大学学报：自然科学版，2009，22（3）：34-37.

[2]王思儉.探公式，窥本质——二项分布、超几何分布的数学期望与方差公式探究[J].新高考：高二数学，2014（4）.

[3]李贤平.概率论基础.第3版[M].高等教育出版社，2010.