基于KMV模型的一种信用风险评估方法及其应用

邵翠丽

【摘 要】 过去十几年中，KMV模型在上市公司风险度量中得到了广泛的应用，然而，在计算模型的关键纽带股权市场价值时，变量d1和d2的正态分布在我国却严重与事实不符，导致KMV在我国上市公司信用风险度量中的精确性较低。基于此，文章以万科A数据为例，应用基于期望最大化算法的极大似然估计对高斯混合模型进行了参数估计，并应用估计后的高斯混合模型重新模拟了变量d1和d2的概率密度函数，进而通过牛顿迭代算法对KMV模型进行了改进得到GKMV模型。文章最后检验了GKMV模型和KMV模型在信用风险度量中的精确性，发现GKMV模型确实比KMV模型有更好的信用风险度量精确性。

【关键词】 KMV模型； 信用风险； 高斯混合模型

【中图分类号】 F830.5 【文献标识码】 A 【文章编号】 1004-5937（2018）19-0034-06

一、引言

近年来，随着宏观经济波动的日趋剧烈，微观企业的风险管理逐渐显得尤为重要，KMV公司根据Merton期权定价理论构建了度量信用风险的KMV模型，并曾一度取得良好的风险度量效果。

然而，KMV却存在无风险利率的选择问题、公司资产价值VA的增长率假设问题、违约距离DD和EDF值的映射关系问题、实证研究的样本不足以及操作技术等诸多问题[ 1 ]，其中，最为重要且明显的问题在于，KMV公司在开发KMV模型时是基于布莱克和斯科尔斯的期权定价模型（B-S模型），该模型在计算企业股权市场价值时的关键变量d1和d2在西方国家的企业财务数据下是服从正态分布的，然而，d1和d2在中国的企业财务数据下并不严格服从正态分布，由此导致基于正态分布计算的企业股权市场价值是有偏的，进而影响到KMV模型在上市公司信用风险度量中的适用性，因此，应用半参数估计方法分析d1和d2的真实分布，不但有利于精确计算出企业股权市场价值，更能作为企业风险管理的有力工具。

过去的十几年里，KMV模型在企业信用风险度量中的精确性及其改进方法引起了众多学者的浓厚兴趣。Afik et al.[ 2 ]研究了原始KMV模型在违约风险预测中的精确性问题，发现原始KMV模型在股票市场的风险预测中不如其他一系列类似的模型，其原因在于估计的资产预期收益率和资产波动的选择，进而从这两个方面来改善KMV模型在违约风险预测中的精确性。Lu[ 3 ]基于Merton、Vassicek和Kealhofer的模型框架对KMV的基本思想和结构做了介绍，并解释了应用这些模型的前提条件，还把Merton模型拓展成特殊的KMV，在他的经验研究中，用真实数据检验了具有不同财务状况的服务公司的違约概率，并发现了输入输出参数的变化规律。

KMV模型在预测债务违约风险中的应用研究同样引起了中国学者的广泛兴趣。杨秀云等[ 4 ]测验了2013年部分上市公司的违约距离，发现测验结果存在较大误差，说明了KMV模型在中国信用风险度量中的适用性较差，其原因可能在于KMV模型的一些假设条件在中国并不相符。曾诗鸿和王芳[ 5 ]利用ST公司和非ST公司的财务数据对债务违约点的计算进行了修正，随后，他们在一定条件下选取了中国42家上市制造业公司数据作为样本，对原始KMV模型与改进后的KMV模型做了对比性校验，研究结果发现，以财务数据改进的KMV模型在对上市制造业公司的债务违约风险预测中表现出更好的精确性。王传鹏和李春蕾[ 6 ]提出了基于条件在险值和GARCH（1，1）扩展的KMV模型，并以条件在险值和其极端波动下的违约距离作为新的信用风险度量指标，发现扩展后的KMV可以精确地对市场信用风险状况做出预警。

本文从KMV模型的关键纽带股权市场价值的估计着手，发现在估计股权市场价值时默认的正态分布与实际经济情况不符，因而，以万科A（000002）的2005年1月1日到2014年12月31日数据为样本，应用高斯混合模型（GMM）重新估计了在计算股权市场价值时的d1和d2的真实分布，计算出了概率密度函数。本文将基于高斯混合模型（GMM）改进的KMV模型简称为GKMV模型，随后，应用GKMV模型计算的概率密度函数来估计股权市场价值，进而应用股权市场价值重新计算违约距离与违约概率，最后证明了GKMV模型在信用风险度量中比KMV模型具有更高的精确性。所以，本文的主要创新性贡献体现于，从KMV模型的关键纽带股权市场价值的估计着手，应用高斯混合模型（GMM），基于Matlab软件，重新计算了d1和d2的概率密度函数，改进了KMV模型在信用风险度量中的精确性，这是以往关于KMV模型的研究空白。

二、模型原理

本部分首先介绍了KMV模型的理论基础；然后引入高斯混合方法，对不服从正态分布的d1和d2用高斯混合模型估计出其真实概率密度函数；最后创建出GKMV模型。

（一）KMV模型

假设股权的市场价值可表示为一个看涨期权的价值，即：

E=f（x） （1）

其中：E为股权的市场价值；x为包括负债的账面价值、资产的市场价值、资产的波动性以及时间范围的变量向量；f（·）为B-S公式。从而可以得到：

E=VN（d1）-De-rtN（d2）=f（V，σA，r，D，t） （2）

其中：V是公司资产的市场价值；σA为资产价值的波动性；D表示负债的账面价值（即违约点DPT）；t为时间范围，即到期时间；r代表无风险借入或贷出利率；N是正态分布的累计概率密度函数。另外，d1和d2具有如下形式：

d1= （3）

d2=d1-σA （4）

在公式（1）和公式（2）中有两个未知数，即资产的市场价值V和资产价值的波动性σA。对公式（1）两边微分后求数学期望，可得到公式（5）：

σE=g（x） （5）

其中，σE为股权市场价值的波动性。同样，将其表示成B-S模型的形式，对公式（2）两边求导，然后再求期望，可得到公式（6）：

σE= =g（V，σA，r，D，t） （6）

对公式（2）和公式（6）进行联合求解，即可得到资产市场价值V及其波动性σA。随后就可以计算出公司的违约点DPT（Default Point）及违约距离DD（Distance to Default）。

令STD代表短期负债，LTD代表长期负债，则可以得到债务违约点：

DPT=STD+0.5LTD （7）

计算出公司在某时刻的资产市场价值及此时的债务违约点，KMV模型即可确定出公司的资产市场价值下降百分之多少时即为达到了债务违约点。另外，考虑到资产市场价值的波动性σA，将达到债务违约点时资产价值下降的百分比除以资产市场价值的波动性即可计算出债务违约距离DD，其公式为：

DD= （8）

如果已知资产的概率分布，那么就可以通过违约距离来直接计算预期违约概率（Expected Default Frequency，EDF）。通常假设资产价值服从正态分布或对数正态分布，这样就能计算理论上的违约概率。假设资产价值服从正态分布，根据违约距离DD的定义，则理论上的期望违约概率计算公式为：

EDF=Pr（E（V1）

（9）

（二）高斯混合模型

为了逼近KMV模型中变量d1和d2的概率密度函数，首先要建立基础的高斯混合模型，可以表示为：

f（x）= ？琢kfk（x；？滋k，σ2k） （10）

其中：k为高斯函数的个数；x为变量向量，包括d1、d2以及DD；？琢k为第k个高斯函数的权重；fk为第k个高斯函数；？滋k与σ2k分别为属于第k个分类的该变量的均值和方差。另外，对于第k个高斯函数的权重？琢k以及第k个高斯函数fk分别有如下约束条件：

？琢k=1 ？琢k≥0；k=1，…，g （11）

fk（x）= e （12）

（三）GKMV模型

GKMV模型即为用高斯混合模型改进的KMV模型，其改进过程主要基于牛顿迭代法，迭代过程如下：

首先，用公式（2）和公式（6）计算出资产市场价值V1及其波动率σ1A，将其代入公式（3）和公式（4），进而计算出d1和d2；其次，利用上文估计出的高斯混合模型来计算d1和d2的概率密度函数 （x）1和 （x）2，借助Matlab软件计算出相应的分布函数 （x）1和 （x）2，该分布函数是对变量真实分布的精确逼近，相对于默认的正态分布有更高的精确性，因此，再将 （x）1和 （x）2替換公式（2）和公式（6）中的N（d1）和N（d2），并计算出新的资产市场价值V2及其波动率σ2A。进入新一轮迭代过程，将上一步骤中计算得到的资产市场价值V2及其波动率σ2A代入公式（3）和公式（4）并计算出第二轮的d21和d22，然后再利用上文估计出的高斯混合模型来计算d21和d22的概率密度函数 （x）1和 （x）2，借助Matlab软件计算出相应的分布函数 （x）1和 （x）2，再将 （x）1和 （x）2替换公式（2）和公式（6）中的N（d1）和N（d2）。

重复上述迭代过程，直到相邻两次迭代计算得到的资产市场价值V2及其波动率σ2A无显著变化，即可计算出最终的资产市场价值Vn和其波动率σnA。最后，把得到的资产市场价值Vn及其波动率σnA代入公式（8），计算出违约距离DD，再将其代入公式（9），即可计算出最终的违约概率EDF。

三、实证分析

（一）变量选取及数据描述

本文在GKMV模型的参数估计过程中，应用的样本数据为上市公司万科A（000002）2005年至2014年的年度数据，这就意味着对KMV模型的改进是基于万科A公司数据的改进，因而，对于不同的公司会有不同的参数估计结果，即对KMV模型有不同的改进结果，但对KMV模型改进的整体思想和方法都是完全一样。因此，本文以万科A为例进行实证分析，各变量选取及数据描述如下。

第一，市场无风险利率r。本文选取中国人民银行发布的金融机构一年期固定存款利率作为代理变量，然而，由于所选样本数据是2005年至2014年的十年数据，且我国中央银行近年来多次调整一年期固定存款利率，所以，用执行时间的加权平均方法来计算无风险利率r，权重即选取实施该固定存款利率的天数，通过时间加权后，得到平均市场无风险利率。原始数据来源于中国人民银行官方网站，无风险利率r的计算方法为：

r= （13）

其中：r为无风险利率，即一年期平均固定存款利率；ri为当年的第i个一年期固定存款利率；ti为当年的第i个一年期固定存款利率的执行天数；tt为当年的总天数。

第二，公司股权的市场价值E。由于我国实际情况与国外其他股票市场不同，2005年以来实行了股权分置改革，以非流通的国有股和法人股向流通股股东支付对价的方式在理论上实现了股票的全流通，然而，非流通股的价值通常还是比流通股的价值低，并不能直接以流通股价格来估算非流通股的价值，基于此，本文用每股净资产来估算非流通股的价值。其中，样本区间为2005年至2014年，原始数据来源于万德数据库，每股净资产的计算方法为：

E=CP×S+NA×NS （14）

NA=SR/TS （15）

其中，CP代表流通股收盘价格，S代表流通股数，NA代表每股净资产，NS代表非流通股股数，SR代表股东权益，TS代表总股数。

第三，公司股权市场价值的波动率σE。一般可用公司流通股股价的波动率来代替，而公司流通股股价的波动率可由股票的对数收益率公式、股价日波动率公式以及股价的年波动率公式计算得到。其中，样本区间为2005年至2014年，原始数据来源于万德数据库，股票的对数收益率公式、股价日波动率公式以及股价的年波动率公式分别为：

st=ln（pt+1/pt） （16）

σd= （17）

σE= （18）

其中，st为第t个交易日的股票对数收益率，pt是第t个交易日的股票价格，si为第i个交易日的股票对数收益率， 是股票对数收益率的均值，n为一年交易日天数。

第四，公司的债务违约点DPT。在传统KMV模型中，违约点这个参数的设定主要基于期权定价理论，另外，根据对大量违约数据的分析结果，KMV公司认为最频繁发生的债务违约点处于公司短期负债加上50%的长期负债的数值上，基于此，本文也采取这种处理方法。样本区间为2005年至2014年，原始数据来源于万德数据库，债务违约点的计算方法为：

DPT=STD+0.5×LTD （19）

其中，DPT为债务违约点，STD为流动负债，LTD为非流动负债。

最后，对本文变量及数据进行整理汇总，见表1。

（二）实证结果

本文应用前面提到的模型和方法进行了实证分析并得到分析结果。首先，经计算得到d1和d2，对d1和d2进行了正态性检验，发现d1和d2并不服从正态分布；其次，借助Matlab软件实现了高斯混合方法改进的KMV模型，得到公司资产市场价值V及其波动性σA，再根据资产市场价值V及其波动率σA计算出违约距离DD；最后，将违约距离DD代入公式（9），进而得到违约概率EDF。

1.资产市场价值、波动率及违约概率

通过前文估计方法的计算，得到了资产市场价值V及其波动性σA，以及d1和d2的计算结果。其中，公司的资产市场价值V1=[386.53 930.12 2 527.86 1 401.66 1 963.25 2 324.81 2 897.79 3 806.04 4 293.69 5 020.06]；资产市场价值的波动率σ1A=[0.42 0.73 0.82 0.39 0.51 0.14 0.10 0.11 0.07 0.09]；d11=[6.74 5.31 6.05 11.53 6.39 20.42 35.12 33.80 43.17 38.56]；d12=[6.32 4.59 5.23 11.14 5.88 20.28 35.02 33.69 43.10 38.47]。与此同时，对变量d1和d2进行正态性检验，检验结果见表2、图1以及图2。

从表2中的SW检验结果可以看出，d1和d2的SW统计量分别为0.835和0.838，其对应的P值分别为0.038和0.042，说明在95%的显著性水平下可以拒绝d1和d2服从正态分布的原假设，即证明KMV模型中的d1和d2并不服从正态分布。

从图1和图2可以看出，d1和d2观测值的散点几乎不围绕在对角线附近，而是呈现曲线形式，从而再次证明了KMV模型中的d1和d2并不服从正态分布。

由于d1和d2不服从正态分布，导致传统KMV模型的信用风险度量结果是有偏的，因此，用高斯混合方法估计出对应于d11和d12的概率密度函数 （x）1和 （x）2，其计算结果为：

（x）1= e +

e （20）

（x）2= e +

e （21）

另外，根据概率密度函数 （x）1和 （x）2，图3和图4给出了模拟的真实概率密度函数图，从图中可以明显发现，d1和d2的概率密度函数图并没呈现出正态分布形式，更像两个正态分布的混合体，再次说明了本文应用高斯混合模型对KMV进行改进具有较高的精确性。

然后，根据概率密度函数 （x）1和 （x）2求出相对应的累计分布函数 （x）1和 （x）2，其计算结果为：

（x）1= （x）1dx=0.7071 （22）

（x）2= （x）2dx=0.7068 （23）

将模拟出的累计分布函数 （x）1和 （x）2替换公式（2）中的正态累计分布函数可以得到股权市场价值，进而根据股权市场价值求出资产市场价值V1及其波动率σ1A，再根据资产市场价值V1及其波动率σ1A求出新一轮迭代过程的d1和d2。结合公式（3）、公式（4）和公式（6），经过5 000次迭代，资产市场价值V及其波动率σA的相邻两次结果无显著变化。最终计算结果为：资产市场价值V=[437.80 1 157.12 3 200.03 1 620.13 2 337.21 2 767.63 3 449.75 4 530.99 5 111.54 5 976.26]；资产市场价值波动率σA=[0.46 0.34 0.86 0.45 0.54 0.14 0.11 0.11 0.08 0.09]。

将公司的资产市场价值V及其波动率σA代入公式（8），即可得到违约距离DD=[1.00 2.23 0.96 1.24 1.22 3.33 3.54 3.50 4.03 4.30]。然后將违约距离DD的计算结果代入方程（9），即可计算出违约概率EDF（%）=[15.87 1.29 16.45 10.75 11.12 0.04 0.02 0.03 0.01 0.00]。

2.精确度检验

本部分以传统KMV模型计算了违约距离DD和违约概率EDF，其计算结果为：违约距离DD=[0.92 0.98 0.95 1.22 1.15 2.75 2.54 2.56 2.45 3.11]；违约概率EDF=[17.88 16.35 17.11 11.12 12.51 0.30 0.55 0.52 0.71 0.09]。将传统KMV模型的计算结果与本文GKMV模型的计算结果进行了对比检验，进而证明了本文的GKMV模型在上市公司信用风险度量中具有更高的精确性。

在对比检验中，本文选取反映公司财务风险的短期偿债能力、长期偿债能力和盈利能力作为对照组，分别选取速动比率、资产负债率和资产收益率作为代理变量，并进行了曼-惠特尼U检验和K-S检验，其检验结果见表3。

从表3的KMV模型与GKMV模型在信用风险度量中精确度的对比检验结果明显可以发现，GKMV模型比KMV模型具有较高的信用风险度量精确度。第一，从对照组的速动比率来看，KMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.739，GKMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.925；KMV模型的K-S检验P值为0.802；GKMV模型的K-S检验P值为0.931。这说明了GKMV模型的信用风险度量结果与对照组的速动比率一致，而KMV模型的信用风险度量结果却不一致。第二，从对照组的资产负债率来看，KMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.775，GKMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.842；KMV模型的K-S检验P值为0.793；GKMV模型的K-S检验P值为0.861。虽然GKMV模型和KMV模型的信用风险度量结果与资产负债率显著性都较差，但GKMV模型的显著性依然高于KMV模型，说明GKMV模型的信用风险度量结果与对照组资产负债率的一致性高于KMV模型的信用风险度量结果。第三，从对照组的资产收益率来看，KMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.838；GKMV模型的曼-惠特尼U检验P值为0.934；KMV模型的K-S检验P值为0.866；GKMV模型的K-S检验P值为0.957。可见，GKMV模型的信用风险度量结果与对照组的资产收益率一致，而KMV模型的信用风险度量结果却不一致。

上述三组对照检验都证明了GKMV模型在信用风险度量中的精确度高于KMV模型，从而说明了本文应用高斯混合模型对KMV模型的改进确实提高了其在上市公司信用风险度量中的精确度。

四、结论

进入新时代，一大特点就是我国对外开放程度进一步提高，全球经济合作明显加强，跨国公司大量涌现，导致当前的公司信用风险逐渐增大，因此，微观企业的风险管理逐渐显得尤为重要。然而，成功的风险管理需要的不仅仅是财务方面的知识，更需要精确的信用风险度量方法。在众多信用风险度量方法中，KMV模型在各国企业的信用风险度量中得到了广泛应用，然而不幸的是，KMV模型在我国上市公司信用风险度量的应用中却表现出了无风险利率的选择问题、公司资产价值VA的增长率假设问题、违约距离DD和EDF值的映射关系问题、实证研究的样本不足以及操作技术等诸多问题，但最为重要并且明显的问题在于，KMV公司在开发KMV模型时是基于B-S期权定价模型，该模型在计算企业股权市场价值时的关键变量d1和d2在西方国家的企业财务数据下是服从正态分布的，然而，d1和d2在中国的企业财务数据下并不严格服从正态分布，由此导致基于正态分布计算的企业股权市场价值是有偏的，进而影响到KMV模型在上市公司信用风险度量中的适用性，导致传统KMV模型在我国上市公司信用风险度量中的精确性较低。

基于此，本文从KMV模型的关键纽带股权市场价值的估计着手，应用SW检验和QQ图发现d1和d2并不服从正态分布，因而，以万科A（000002）的2005年1月1日到2014年12月31日数据为样本，应用高斯混合模型重新模拟了在计算股权市场价值时d1和d2的真实分布。在应用高斯混合模型模拟d1和d2的真实分布时，应用了基于期望最大化算法的极大似然估计，进而计算出d1和d2的概率密度函数，并将基于高斯混合模型（GMM）改进的KMV模型简称为GKMV模型。随后，应用GKMV模型计算的概率密度函数来估计股权市场价值及其波动率，再应用股权市场价值及其波动率重新计算了违约距离与违约概率。最后，选取反映公司财务风险的短期偿债能力、长期偿债能力和盈利能力作为对照组，分别选取速动比率、资产负债率和资产收益率作为代理变量，并应用曼-惠特尼U检验和K-S检验对比了GKMV模型和KMV模型在信用风险度量中的精确性。

本文旨在从信用风险度量模型KMV的内部结构上对其进行改进，并在实证检验结果下显示了改进后的模型确实比传统KMV模型具有更高的信用风险度量精确性。然而，本文在对模型改进中所用数据是以上市公司万科A数据为例，也就是说明应用不同公司数据会对KMV模型有不同的改进结果，但对d1和d2的正态性改进方法以及改进KMV模型的思路具有一致性，也即本文方法可以用于改进KMV模型在不同上市公司的信用风险度量，但在不同公司的改进细节上仍需进一步研究。

【主要参考文献】

[1] ANUWAR M H， JAFFAR M M.Grading the probabilities of credit default risk for Malaysian listed companies by using the KMV-Merton model[J]. Journal of Finance，2017，96（11）：22-47.

[2] AFIK Z， ARAD O， GALIL K. Using merton model： an empirical assessment of alternatives[R].Discussion Paper NO.12，2012.

[3] LU Y. Default forecasting in KMV[D]. Oriel College， University of Oxford，2009.

[4] 楊秀云，蒋园园，段珍珍. KMV 模型在我国商业银行信用风险管理中的适用性分析及实证检验[J].财经理论与实践，2016（1）：34-40.

[5] 曾诗鸿，王芳.基于KMV模型的制造业上市公司信用风险评价研究[J].预测，2013，32（2）：60-63.

[6] 王传鹏，李春蕾.基于修正KMV模型的上市公司信用风险测度[J].会计之友，2018（13）：93-99.