从四则运算看各种“数”的由来

2018-12-26 07:26张海燕
初中生世界 2018年46期
关键词:式子负数数轴

张海燕

(作者单位:江苏省海安市李堡镇初级中学)

回顾从自然数开始,再加上分数、负数、无理数,直到成为实数的发展过程,可以说它很像是许多涓涓细流汇成一条大河(如图1).

自然数添上分数,再添上负数就成了有理数;有理数再加进无理数就成为实数.

那么,为什么在数的世界里,要从自然数扩大到实数呢?细细一想,这里有个一贯的原则.比如说,有一个人只知道10以内的数:

1,2,3,…,10.

对这个人来说,即使取其中任意两个数相加,他也有可能答不上来.如果是2+3,他知道是5;要是6+7的话,他就只好说“不知道”了.即使他知道10000以内的数也一样无法解答,因为6000+7000的答案不在10000以内.

因此,为了无限制地进行“+”运算,就必须有无限多的自然数.这样就产生了所谓无限多的自然数的整体想法,这就是1,2,3,……

想象有这样一个自然数的整体,就可以自由地进行“+”运算了.这时,自然数的整体对于“+”来说叫做闭合.由于乘法也是自然数的相乘,是加法的重复,因此也能自由地进行,也就是说自然数的整体对于“×”是封闭的.所以在只考虑“+”或“×”的时候,只要自然数够用,就没有必要再考虑新的数.

图1

可是要考虑“×”的逆运算“÷”的时候,自然数就不再封闭了.因为任意取两个自然数作除法,结果却不一定是自然数.例如2÷3的结果就不是自然数.这时自然数的范围就太狭窄了,要想自由地进行除法运算,就必须增加新的数,这就是分数.在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内,“+”“×”“÷”就可以自由地进行运算.

然而,想到“+”的逆运算“-”的时候,这个范围又窄了,因为不能用小数减去大数.例如2-5,即使写出这个式子,也得不出答案.

为了让这个式子也能有答案,就必须想出-3这样一个新数.也就是说要自由地做“-”运算,需要有一种新的数——负数.

把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数,即有理数时,“+”“-”“×”“÷”四则运算就可以自由地无限制地进行,换句话说,有理数对于四则运算是闭合的.

当数的世界扩展到有理数时,“+”“-”“×”“÷”的计算虽然能自由地进行,但是还不具有连续性,所以仍然不能表示直线上所有的点.填满这些空缺就需要无理数.有理数与无理数合起来就是实数.有了实数就可以表示数轴上所有的点(也就是同学们熟悉的实数与数轴上的点是一一对应的关系).

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