浅谈导数在高中数学中的应用

陈金保

摘要：众所周知，导数是数学学习和数学研究的基础部分，也是人类进一步学习其他自然学科的关键内容。导数是建立在极限思想的基础上，它涉及了初中、高中数学教材的各个方面，而且涵盖了两册大学数学分析课本。也就是说，从小学到大学的数学学习都离不开导数，所以，对于高中生的高中数学学习，导数学习的地位是十分高的。本文从导数的定义出发，由一些例子的展示，分析了导数在高中数学中的一些重要应用，以便于学生能够更好地理解导数的定义，接受高中导数的理论学习。

关键词：导数;函数切线斜率;最值和极值

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2018）09-0105

导数如此重要，是学习数学、研究数学必不可少的一个工具，是初等数学和高等数学的一个连接纽带。学习导数知识可以在实际应用中快速准确求出函数的切线斜率，还可以准确又简洁的求出曲线的切线方程，也可以求出函数的最大值、最小值、极大值以及极小值，即利用导数可以解决生产和生活中常见的能用数学知识解决的最优决策和最优设计问题。导数的学习不仅仅能让学生更好的理解函数的性质，掌握函数思想，而且在很大程度上能够拓展学生的解题思路，并且能够进一步提高学生分析问题的能力和解决问题的能力。

一、导数的定义分析

二、利用导数求函数的切线斜率

函数的切线斜率的求解其实是利用了导数的几何意义，即：若函数f在点x0的导数是曲线y=f（x）在点（x₀，y₀）处的切线斜率。若表示这条切线与x轴正向的夹角，则f′（x₀）=0，即这条切线的斜率是这个夹角的正切值。从而我们可以得出结论，当f′（x₀）>0时，表明切线与轴正向的夹角是一个锐角;当f′（x₀）<0时，表明切线与x轴正向的夹角为一个钝角;当f′（x₀）=0时表示切线与x轴平行，通过这个方法也同样可以求出曲线的切线方程，即首先要求利用导数的几何意义出函数的切线斜率，然后把已知的点坐标代入函数表达式中，即可求出函数的切线方程。具体有以下例子说明：

例1.已知曲线l：y=x²-2x+a，求切点为P（2，1）的曲线的方程。

解：因y=x²-2x+a，所以y′=2x-2

则当x=2时，y=a，y=2

当a=1时，点p（2，-1）在曲线上，故过点p的曲线l的切线方程可表示为：

y-（-1）=2（x-2）即2x-y-5=0。

这道例题就是先用导数求出切线斜率，然后再把已知点代入表达式。

三、利用导数判断函数单调性问题

我们都知道，函数的单调性是指一个函数在某个区间内或者在其定义域内的单调增减性的变化规律，这是研究函数的图形时首先需要考虑的一个关键性问题。而且在中学的时候，我们已经学习并掌握了函数在某个区间内或定义域内的单调增减性的定义。现在，高中数学中导数的学习让我们更深入的了解其定义并且能更容易判断函数增减性及确定其单调区间。

我们现在可以深入挖掘一下函数导数在函数单调性中的应用涵义，假设函数y=f（x）在点区间[a，b]中可导，则会有以下三个结论：1. 若对区间（a，b）中所有的x而言f′（x₀）>0，则f（x）在（a，b）中递增;2. 若对区间（a，b）中所有的x而言f′（x₀）<0，则f（x）在（a，b）中递减;3. 若对区间（a，b）中f′（x₀）=0所有的x而言，则f（x）在（a，b）中不变。由此可见，只要能够求出函数的导数，即求出函数的切线的斜率，同时判断它大于0的还是小于0的，就能判断函数的单调增减性，这种方法不仅更方便，而且更加直观。

例2.已知函数f（x）=ax²+1（a>0），g（x）=x³+bx。（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在他们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值。（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间。

解：（1）f′（x）=2ax，g′（x）=3x²+b，

由题知，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），故a+1=1+b，2a=3+b，

最后解得a=3，b=3，

所以函数h（x）的单调递增区间为（-∞，-a/2），（-a/6，-∞）;单调递减区间为（-a/2，-a/6）

四、利用導数求函数的极值问题

函数值由增加到减少或者是由减少到增加，都经过一个转折点，即图中的“峰值”点和“谷值”点，这些点是在研究函数中是十分重要的。极值的求法是这样定义的：设函数f（x）在点x=x0及其区间左右两侧附近有定义，若对该区间内的任意点x（x=x0）恒有f（x）f（x0）成立，则f（x0）为极小值。由以下例子具体说明：

例3.设f（x）=alnx+1/2x+3/2x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线垂直于y轴。（1）求a的值;（2）求函数f（x）的极值。

五、利用导数求函数的最值问题

在经济活动和日常生活中，我们常常遇到这些问题，例如：如何合理的使用原料才能达到最省，而且成本最低，效率最高或者是效益效率最好的目的的问题，这些问题在数学学习中，称为函数的最大值或最小值问题，即最值问题。假定函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在最大、最小值，其判定的一般步骤和方法是：1. 求导数f′（x）;2. 求方程f′（x）=0的根;3. 检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右符号。若在根左侧附近大于0，右侧附近的值小于0，那么，函数y=f（x）在这个根处能够取得极大值;若在根左侧附近的值小于0，右侧附近大于0，那么，函数y=f（x）在这个根处能够取得极小值。对于在闭区间[a，b]连续，在开区间（a，b）内可导的函数f（x）对的最大值和最小值，可以首先求出函数在开区间（a，b）上的极大（小）值，并与函数定义域端点值f（a），f（b）比较，即可得出最大（小）值。由以下例子具体说明：

总之，导数的应用涉及到高中数学学习的很多内容，本文仅仅讨论了导数在四个方面的应用。由此可见，高中数学中导数的学习，不仅拓展了学生学习数学和解决数学问题的思路，而且还扩展了学生的数学知识，让学生体味到数学学习的乐趣，进一步了解数学极限思想和方法，对学生是十分有帮助的。所以，高中数学中所学的导数是我们研究高中数学的一个有力工具，在高中数学中导数的学习能够帮助学生解决许多数学应用问题，让学生更加牢固的掌握高中数学的基础内容，为大家进一步的数学学习打下坚实的基础，更有效的提高学生的数学考试成绩，掌握独特的学习方法。一句话，导数的学习是高中生学好数学、打好基础的关键。

参考文献：

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