椭圆与双曲线比一比

张圣官

让我们先来尝试以下两道题：

题1某圆锥曲线上一点P到两个焦点F1，F2的距离满足PF1∶F1F2∶PF2＝2∶3∶4，求该圆锥曲线离心率的值.

题2（1）设椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，线段CD是垂直于椭圆长轴的弦，连结A1C，A2D并延长相交于点P，则动点P的轨迹方程是________；

初学圆锥曲线时，有畏难情绪很正常.全新的知识，而且是重难点比较集中的地方，那么该怎样攻克这个“拦路虎”呢？在比较中学习，不失为一种高效的方法.

在题1中圆锥曲线可能有两种形态：椭圆或双曲线，离心率的值为.在题2中运用交轨法求轨迹，结果发现在椭圆1中动点P的轨迹方程就是双曲线；而在双曲线中动点P的轨迹方程恰好是椭圆.

其实，椭圆与双曲线有许多相关、相似又相异的性质，需要我们在学习的过程中运用比较法进行探讨，在辨析中加深对相关知识的掌握.

一、比较中认识椭圆与双曲线

初学时，标准方程和图象是我们主要的抓手.

标准方程中，需要对a，b，c三个量清楚明了，焦点所属的轴不同，其最终方程也会不同；图象则是包罗万象，既要能很快根据已知条件画出草图，又要能根据图象得出基本量.

图1

细心观察、琢磨教材中的定义，我们可以发现，椭圆和双曲线的定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，抓住矛盾的两个方面，可以将椭圆的性质类比到双曲线上.随之而来的图象，可以看到椭圆的准线像弹簧的两端，拉着椭圆往外“跑”，而双曲线的准线则在中间，仿佛阻挠着其两支往中间挤，还有着标志性的渐近线.

二、比较中探究椭圆与双曲线性质

探究一：椭圆两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过点F2作∠F1QF2的一个外角平分线.的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是圆的一部分.

（1）证明此命题为真命题.

（2）你能否类比到双曲线上，给出一个类似的命题？并证明.

分析仔细体会动点的运动过程，出现外角平分线，才有垂足，于是可自然猜想到将“外角平分线”类比为“内角平分线”；在具体论证的过程中我们可以边探究边印证，进而归纳总结，得出结论.类比不是简单的生搬硬套，必须遵循两者定义的区别.

探究二：已知椭圆b＞0）上A，B两点关于原点对称，点P是椭圆C上任意一点，且点P与A，B两点均不重合，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，那么k1·k2是否为定值？

图2

（1）猜想结论，并证明.

（2）类比到双曲线中，写出一个类似的命题，并证明之.

分析探究过程可以从特殊位置开始，猜出结论，再进行一般论证.类比到双曲线时，引导根据两个曲线的定义差别，找出类比的规律.

探究三：如图，点P（x，y）（x＞0，y＞0）是双曲线上的动点，F1，F2是双曲线的焦点，点M是∠F1PF2的平分线上一点，且.某同学用以下方法研究：延长F2M交PF1于点N，可知△PNF2为等腰三角形，且M为F2N的中点，得.类似地：点P（x，y）（x＞0，y＞0）是椭圆上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上一点，且，则的取值范围是_________.

图3

图4

前面都是椭圆类比到双曲线，此题是由双曲线类比到椭圆，而且与探究一有相似之处，可以加强我们对椭圆、双曲线定义的理解，另一方面也是类比思想的深化.

三、比较中区别椭圆与双曲线不同点

椭圆与双曲线同属于圆锥曲线，但形状不同，不是所有性质都一样.在椭圆中，有四个顶点，两条准线，图形是封闭的；在双曲线中，有两个顶点，两条准线，图形是开放的，而且有两条渐近线.有关渐近线的问题是双曲线所特有的，而椭圆就没有.有些结论相似但不相同.例如：过椭圆0）的左焦点F作直线与椭圆交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与椭圆的左准线相离；过双曲线的左焦点F作直线与双曲线的左支交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与双曲线的左准线相交.这是由于它们离心率范围不同造成的.类比也不能太“任性”.

例1△ABC中，B，C分别是双曲线的左、右焦点，A在该双曲线的右支上运动.△ABC的内切圆圆心为I，求证：I的横坐标为定值.

证明设内切圆分别与AB，BC，CA切于D，E，F，则AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.因为A在该双曲线的右支上，所以4＝AB-AC＝BD-CF＝BE-CE.设E（x0，0），则，所以x0＝2.因此I的横坐标为定值2.

例2如图，设椭圆的右焦点为F，直线l与曲线C：x2+y2＝16（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，求证：△FAB的周长为定值.

图5

解设切点为T，连结OT，OA，设A（x1，y1），x1＞0.

在圆x2+y2＝16中，，将代入得.

同理可得BT+BF＝5.即△FAB的周长为定值10.