小小坐标系，发挥大作用

陈卫东

数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系.我们在学习每一分支时，注意知识之间横向联系，换个角度看问题，也许可以使问题简单化，起到事半功倍的效果.许多看似与解析几何无关的问题，常需借助直角坐标系来解决，但很多同学却想不起来，因而如何想到并合理建系，让解析几何的思想方法深入内心，则是遇到此类问题时先要解决的，而且是至关重要的.看过下面几道典型例题，你一定会悟出许多道理来.

例1满足条件的△ABC面积的最大值是________.

分析1我们可以采用解三角形与求函数最值的办法.设BC＝x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形，再利用余弦定理用x表示sinB，得到面积关于x的函数，再根据x的范围，求出面积的最大值.此法运算量很大，未接触到问题的本质.

分析2由题知条件AB为定值，△ABC的面积大小取决于AB边上的高，也即需要探究动顶点C的运动变化情况，尤其是C点在何处时位置最高.点C满足条件，它的位置怎样变化？如果能确定顶点C运动的轨迹，面积问题就可以从“形”的角度解决.而点的轨迹，常用解析几何的方法求出其方程.这道题想到建立坐标系求解的同学并不多，原因在于就题论题，未做深入审题和动态分析，没有弄清问题的本质是求AB上的高的最大值，将问题归结为求C点的轨迹方程问题.那么，如何建立直角坐标系使得后续解题最简洁呢？实际上，相当于先画出直角坐标系x Oy，然后将△ABC在平面内移动.由于线段AB的长度为定值，相当于确定了两个定点，故可以考虑将AB所在直线与x轴重合，这样yA，yB都为0，解答的时候可以大大降低运算量.以A点作为原点还是B点作为原点呢？或者以AB中点为原点？同学们可以思考下有何不同.

略解以AB所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点建立直角坐标系x Oy，则A（-1，0），B（1，0）.设C（x，y），根据得，整理得点的轨迹为圆心在x轴上，为半径，去除A，B以外的圆.△ABC可以看做AB为底，C点纵坐标的绝对值为高，要使△ABC的面积最大，则需有最大值，从而求出△ABC面积的最大值为.

点评建立直角坐标系处理此问题要比“常规方法”简单明了.重要的是善于从图形的运动变化中加以考察分析，有了轨迹及其方程的意识，就容易想到建立坐标系了；另外也要掌握建系的一些小窍门，本题中“以AB所在的直线为x轴”是关键，所取的原点不同，会使得得到的轨迹方程不一样，但是圆的半径是固定的，的最大值也是相同的.

例2已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足｜c-a-b｜＝1，则｜c｜的最大值为________.

分析注意到条件是两个垂直的单位向量，；或者考虑建立直角坐标系，把条件｜c-a-b｜＝1坐标化得到c终点的轨迹，从而求出c模的最大值.

图1

解析建立如图1所示的直角坐标系，可设，，.

由｜c-a-b｜＝1得（x-1）2+（y-1）2＝1，即点C（x，y）的轨迹是以M（1，1）为圆心，1为半径的圆.

所以｜c｜的最大值为.

点评平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，二是“数化”，即建立坐标系利用向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数、不等式、方程等方面问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用坐标运算将问题转化为圆的知识解决.本题由于得知a，b是两个垂直的单位向量，故建立直角坐标系可谓水到渠成，可见熟悉一些方便建系的基本特征也有利于我们构建解题思路.

例3如图2，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点.

图2

（1）证明：AE⊥PD；

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.

分析第一问转化为证明线面垂直；第二问根据EH与平面PAD所成最大角的正切值为可以找出四棱锥的底面边长和高之间的关系.立体几何问题中，空间坐标系往往能发挥出巨大的能量，关键是如何建立合理的坐标系.考虑到AE，AD，AP两两垂直这一显著特征，可以这三条边为坐标轴建立空间坐标系，利用空间向量的方法来解决.

解（1）证明略.

（2）设AB＝2，H为PD上任意一点，连结A H，EH，如图3.

图3

由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EH A为E H与平面PAD所成的角.

在Rt△EA H中，，所以当A H最短时，∠EH A最大，即当A H⊥PD时，∠E H A最大.此时，因此.又AD＝2，所以∠AD H＝45°，所以PA＝2.

图4

由 （1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，计算可得所求二面角的余弦值为.（具体解答过程请同学们补齐）

点评立体几何问题中，求二面角的三角函数值较为常见，关键是找出这个二面角，而首要的便是合理地建系.只有建立最合理的坐标系，才有可能直奔主题、少走弯路.三条线段两两垂直是空间坐标系的显著特征，应成为我们建系的首选.