形如an+1=λan+f（n）数列通项的求法

陈芳中

【摘要】形如an+1=λan+f（n）数列通项是高考命题中考查数列通项的一种重要题型，本文针对λ，f（n）的不同形式，给出其通项的不同求法.

【关键词】通项公式;数列;等比数列

对形如an+1=λan+f（n）的数列，可根据λ，f（n）的不同形式，分为以下四类：

类型一an+1=an+c（此时λ=1，f（n）=c（c为常数））

解题思路由an+1=an+c可知，数列{an}是公差为c的等差数列，其通项公式可由an=a1+（n-1）c求得.

例1已知数列{an}满足：a1=2，3an+1=3an+4，求数列{an}的通项公式.

解由3an+1=3an+4可知数列{an}是公差为43，首项为2的等差数列，所以an=2+43（n-1），即数列{an}的通项公式为an=43n+23.

类型二an+1=an+f（n）（此时λ=1，f（n）通常为等差数列或等比数列等可求和数列）

解题思路由an+1=an+f（n）得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a1，通项公式可得.

例2已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2n-1，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=an+2n-1得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=1+（1+…+（2n-5）+（2n-3）首项为1，公差为2的等差数列的前n-1项和）

=n2-2n+2，

即数列{an}的通项公式为an=n2-2n+2.

例3已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+2n，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=an+2n得

an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=1+（2+…+2n-2+2n-1首项为2，公比为2的等比数列的前n-1项和）

=2n-1，

即数列{an}的通项公式为an=2n-1.

类型三an+1=λan+c（此时λ≠1，f（n）=c（c为常数））

解题思路假设存在实数x，使得an+1+x=λ（an+x），即an+1=λan+（λ-1）x，又因为an+1=λan+c，所以c=（λ-1）x，得x=cλ-1，因此，an+1+cλ-1=λan+cλ-1.令bn=an+cλ-1，则bn+1=λbn，从而可以得到等比数列{bn}的通项，再由bn=an+cλ-1可得数列{an}的通项.

例4已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+5，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2an+5可得an+1+5=2（an+5）.令bn=an+5，則bn+1=2bn且b1=a1+5=6，由等比数列的通项公式可得bn=32n，再由bn=an+5可得数列{an}的通项公式an=32n-5.

类型四an+1=λan+f（n）（此时λ≠1，f（n）不为常数）

解题思路构造g（n），使an+1+g（n+1）=λ（an+g（n）），令bn=an+g（n），则bn+1=λbn，从而可以得到等比数列{bn}的通项，再由bn=an+g（n）可得数列{an}的通项.其中构造g（n）没有通法.只能根据条件观察构造.

例5已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式.

解由an+1=2an+3n，得an+1=2an+3n+1-2·3n，

即an+1-3n+1=2（an-3n）.

令bn=an-3n，则bn+1=2bn且b1=a1-3=-2，

由等比数列的通项公式可得bn=-2n，

再由bn=an-3n得数列{an}的通项公式an=-2n+3n.

【参考文献】

[1]李朝东.高考档案[M].银川：宁夏人民教育出版社，2013：95-97.

[2]曹杨，刘景峰，李娟.思索高考数学（理）[M].北京：光明日报出版社，2016：131-136.