数学归纳法的教与学

李敏

摘 要：教材从摸球和骨牌实例出发，引出数学归纳法公理，接着研究了具体数学归纳法的证明，找出了每个步骤之间的关系，然后通过观察一系列具体实例的证明加深公理的理解，最后学生进行实际运用。

关键词：新课教与学；概念运用；数学方法

【教学内容解析】

数学归纳法是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版选修2-2中2.3的内容，是本书的重要内容之一。

本课是数学归纳法的第一课时，前面学生已经通过数列一章内容和其他相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

【教学目标设置】

知识目标

1.了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

2.初步理解数学归纳法原理。

3.理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

4.初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

能力目标

1.通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

2.让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

【教学重难点】

重点

1.初步理解数学归纳法的原理。

2.明确用数学归纳法证明命题的步骤。

3.初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。

难点

1.对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

2.假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

【学生学情分析】

这节课是借班上课，通过了解，这个班级的学生基础不错，学生思维灵活，因此，这节课选择让学生自主研究多尼诺骨牌倒下的原因，教师从旁引导。

数学归纳法的学习是高中数学选修2-2中，虽然学生在平时的学习中已经对推理方法有了一定的了解和应用，有了初步的感性、理性认识，但是数学归纳法的学习，使学生的认识更进一步，并形成了一定的研究方式与体系，为学生从n的有限到无限的证明方法拓宽了思路。同时，学生的数学思维能力与思想方法有待继续培养、提高、完善，要结合学生的实际情况，分解难点，逐一

突破。

【教学策略分析】

教材从摸球和骨牌实例出发，引出数学归纳法公理，接着研究了具体数学归纳法的证明，找出了每个步骤之间的关系，然后通过观察一系列具体实例的证明加深公理的理解。

而根据学生思维从具体形象到抽象逻辑的特点，本节课在教学材料的组织上选择了学生利用多米诺骨牌的视频作出一系列类比联想，独立思考、自主探究最后分组交流得出骨牌倒下需要的条件，进而得出数学归纳法证明的步骤。学生是课堂的主体，教师是课堂的主导，在讨论中教师可以点拨利用类比推理的方法，使学生能够更快地找到解决问题的方法

【教学过程】

环节一 情景引入，揭示课题

屏幕显示：

引例1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。

引例2：数列{an}的通项公式为an=（n2-5n+5）2，计算得 a1=1，a2=1，a3=1，于是猜出数列{an}的通项公式为：an=1。

引例3：数列为{1，2，4，8}，则它的通项公式为an=2n-1。（n≤4，n∈N*）

教师：问题1：以上3个结论正确吗？

问题2：以上结论用了什么推理方法？——歸纳法

学生：思考讨论，并回答问题

屏幕显示：

引例4：对于数列{an}，已知a1=1，an+1=■，n∈N*

（1）求出数列的前4项，你能得到什么猜想？

（2）你的猜想一定正确吗？

教师：问题3：能否保证从特殊到一般猜想归纳的结论正确？（n从有限到无限，无法一一验证猜想）

学生：讨论给出屏幕上引例4的答案

学生猜想：an=■

屏幕显示：播放多米诺骨牌视频

学生：看视频现象思考本质

板书课题 数学归纳法

环节二 启发引导，生成概念

屏幕显示：

思考：请同学们思考所有骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？透过现象揭示本质，给时间空间让学生发现。

学生分组讨论总结

屏幕显示：

条件：1.第一块骨牌倒下；

2.任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下——给出了一个递推关系，即假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下。

教师来回巡视，小组间指导点拨

学生分享小组讨论结果

屏幕显示：

1.类比骨牌倒下的条件，得出证明引例4所需步骤（附表1）

2.当一个命题满足图1中（1）（2）两个条件时，能把证明无限问题用有限证明解决么？

类比归纳，所有学生共同完成图1

表1

■

环节三 提炼总结，构建知识

屏幕显示：

1.数学归纳法

屏幕显示（老师板书）：

一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：

如果

（1）当取第一个值n0（例如n0=1，2等）时，结论正确；

（2）假设当n=k（k∈N*且k≥n0）时结论正确；

证明当n=k+1时，结论也正确。

那么对于从n0开始的所有正整数n都成立。

学生理解思考，体会新概念

环节四 探究思考，认知升华

屏幕显示：

思考：（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？

（2）数学归纳法有几个步骤？每一个步骤说明什么问题？

学生思考解答

教师总结数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据

四个步骤：一验二设三证四总结

学生理解四个步骤的含义，知识升华

屏幕显示：利用数学归纳法公理能解决引例4么？

教师学生一起利用数学归纳法解决引例4，巩固新知识

环节五 典型例题，知识应用

例1.用数学归纳法证明：等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an=a1+（n-1）d。①

设计意图：对数学归纳法的初步应用，尤其注意步骤的完整性和证明的规范重点。

证明：（1）当n=1时，等式左边a1，等式右边=a1+0×d=a1，等式①成立。

（2）假设当n=k时等式①成立，即ak=a1+（k-1）d，

那么，当n=k+1时，有ak+1=ak+d=a1+（k-1）d+d=a1+[（k-1）-1]d。

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2）可知，对任何n∈N*，等式①都成立。

总结：由以上例题可知，运用数学归纳法需注意：

1.三个步骤缺一不可：第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳假设，“假设n=k时成立” （注意是“假设”，而不是确认命题成立）。

2.在第三步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。

3.数学归纳法只适用于和自然数有关的命题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体

分析。

变式：用数学归纳法证明：等比数列{an}中，a1为首项，q为公比，则通项公式为an=a1qn-1。

设计意图：对数学归纳法公理的应用，可由学生作答，教师板书，加深概念的理解。

例2：用数学归纳法证明：当n∈N*时，1+3+5+…+（2n-1）=n2。

设计意图：学生板演，教师巡视，注意学生证明过程中有无

缺漏。

证明：（1）当n=1时，等式左边=1，等式右边=1，等式成立。

（2）假设当n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2，

那么，当n=k+1时，有1+3+5+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]

=k2+[2（k+1）-1]=k2+2k+1=（k+1）2。

這就是说，当n=k+1时等式也成立。

根据（1）和（2）可知，对任何n∈N*，等式都成立。

环节六 课堂练习，巩固提高

书后练习

环节七 梳理知识，归纳总结

重点：四个步骤，缺一不可

注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。

【教学反思】

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关命题的正确性的证明方法，它的操作步骤简单、明确，一验二设三证四总结缺一不可。教学重点应该是概念的形成以及方法的应用。

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从认识多米诺骨牌现象开始，解剖现象带来的结论。第二阶段是类比推理，透过现象看本质，由骨牌一一倒下，类比得出证明需要的步骤。

学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入思维活动中，是十分重要的。本节课的教学设计也想在这方面作些突破，所以选择的多米诺视频还是能吸引学生的注意力，这样的选择发挥了学生的主体作用，调动了学生的学习积极性，而且培养了学生的观察、实践能力。同时课堂中也应注意及时收回学生的关注，回到本节课的

内容。

课堂教学中要注意掌握：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。即找准起点，奠定基础，第一步验证，取满足条件的第一个值，要注意不一定是n=1；理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第三步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件，即n=k+1时等式也成立。因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立。证明的主要部分应改为以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第三步证明过程的设计指明了正确的思维方向。

课堂教学之后，自己发现不足的地方还是很多的。引入的时候没有生动的实例，概念教学略快。在实施证明的过程，遗憾的是在具体教学过程中没能明确指出为什么第一步是递推基础。在课堂练习3中，学生指出错误的地方，却忽略了错误形成的原因。在今后的教学过程中值得重视。

像数学归纳法这样的内容需要多次接触、反复应用，才能加深理解。但由于时间关系数学归纳法的应用练习较少，以后可适当增加课堂练习与思考，同时注意题目的难度。

参考文献：

[1]林少杰.中学生数学学习中抽象概括的思维障碍研究[J].数学教育学报，2012（4）.

[2]刘振达，王青建，邵茹.从数学史角度研究数学学习动机[J].数学教育学报，2012（3）.

编辑 马晓荣