仿射型映射的分解

冯小高，金建军

（1.西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009；2.合肥工业大学 数学学院，安徽 宣城 242000）

0 引言

我们先回忆一些基本的定义（见文献［1-2］）。假设Ω和Ω′为复平面 C内两个有界区域，f：Ω→Ω′为保向同胚映射。

则称f具有有限偏差。其中

为线性微分映射Df的算子范数，而

为Jacobi行列式。满足不等式（1）最小的K（z）称为 f的线性偏差函数，记为K（z，f）。

定义2（见文献［3］）若不等式（1）中 K（z）有界，f（z）称为拟共形映射。特别地，若K（z）≤K（K≥1），称 f（z）为 K-拟共形映射。

定义3 假设f：Ω→ C的同胚，且对任意的z1，z2∈Ω，满足：

则称 f（z）为 L-双边 Lipschitz映射。满足（4）式最小的 L≥1称为 f（z）的等距偏差。

旋转问题在函数理论中有深刻的研究，并且在几何和动力系统中广泛的应用。它们与非线性理论有着密切的关系。在文献［4］中，John证明了：

定理1 （见文献［4］） 假设 f：C → C为1+ε-双边Lipschitz映射，对0＜a＜b，f（z）满足：当z＞b时，f（z）＝z；当z＜a时，f（z）＝zeiθ，则

（5）式中角的估计主要根据平面内1+ε-双边 Lipschitz映射的稳定性定理（见文献［4］）得到。BMO理论（见文献［5］）也对（5）式的证明起到了重要的作用。Gutlyanskii和 Martio（见文献［6］和［7］）证明了拟共形映射（双边Lipschitz映射更一般）对（5）式同样成立。他们借助拟共形映射的性质和等距偏差系数给出了旋转角的精确的积分估计。

最近，我们为了给出Balogh-Fässler-Platis（见文献［8］）的结果一个快速证明，考虑了一个新的 Grötzsch型极值问题（见文献［9］）。具体地，对实数l＞0和k，令

考虑集合℘，℘为Q1上具有有限偏差的保向同胚f，并且f在边界满足：f（0）＝0和

℘中有一特殊的映射为

我们称此映射为仿射型映射。从对John旋转角度的估计证明（见文献［9］）中注意到映射f*中的k与旋转角有密切的关系，所以这里对k进行估计。在文献［9］中，我们得到：

定理2（见文［9］） 假设φ为［1，+∞）上的正的，不减的凸函数。则对任意的同胚 f∈℘，不等式

成立。

1 主要结果及其证明

在此部分，我们给出了仿射型映射斜率的精确积分估计，同时将仿射型映射分解为具有等距偏差的同胚。

1.1 仿射型映射斜率的估计

借助定理2，我们得到了本文的第一个主要结果：

定理3 假设f∈℘，则

（9）式的估计是精确的，映射（7）取到等式。

证明：由（7）知道：

和

那么由（10）和（11）可得：

取 φ（t）＝t，那么根据（12）式与定理 2中的（8）式可以得到（9）式。

根据（9）式，可以得到下面推论：

推论1 假设f∈℘为Q1上的L-双边 Lipschitz映射，并且f在边界满足：f（0）＝0和

则：

（13）式的估计是精确的，映射（7）取到等式。

证明：令

由不等式（9）可得

那么

又因为 f为L-双边Lipschitz映射，那么f也为L2-拟共形映射，即得到

那么结合（16）式可得（13）式。

1.2 仿射型映射的分解

我们知道在一维情形下，区间上的L-双边Lipschitz映射可以分解为具有更小的等距偏差α的同胚映射的复合。但是对于n≥2时对应的结果不得而知。Freedman和He（见文献［10］）研究了对数螺旋映射得到：当时，L-双边Lipschitz映射可以分解为具有更小的等距偏差α的同胚映射的复合。在文献［7］和［2］中，也研究了对应的问题。

在这里，我们研究仿射型映射的分解问题。假设k（x）为区间［0，1］上的局部绝对连续的实函数，且

定义映射 f：Q1→ C 为

下面我们要证明f事实上为双边Lipschitz映射。

引理1 映射（18）f（z）为 Q1上的 α-双边 Lipschitz映射。

证明：由于 f（z）＝x+i k（x）+i y，直接计算得

和

那么由（19）和（20）得

和

根据（17）、（21）和（22）式知

和

故可以知道 f（z）为 α-双边 Lipschitz映射。记形如（18）式映射的集合为ℑ。下面的定理为分解定理得一个补充。

定理4 假设f*分解为

其中 f*∈ ℑ。则如果是正整数，那么

证明：假设f*＝fN◦…◦f1，其中fj为（18）式定义的映射，且对每个j都存在kj满足（17）式。那么可得

对（26）式两边关于x求导，根据（17）式知道

从而得到