双曲QK空间与Carleson测度

唐树安

（贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550001）

1 预备知识

我们用 D＝｛z：z＜1｝表示复平面上的单位圆盘，用∂D＝｛z：z＝1｝表示单位圆周。用H（D）表示单位圆内解析函数的全体，记 B（D）＝｛f∈ H（D）：f（z） ＜1｝。设 f∈ B（D），其双曲导数定义为 f*（z）＝。借助于双曲导数，我们可以定义一些有界解析函数类，称之为双曲型函数空间。对这类函数空间的研究由来已久，1979年S.Yamashita在文献［1］中提出了双曲Hp的概念，又于1981年在文献［2］中提出了双曲Dirichlet空间的概念，很多学者考虑了其他解析函数空间所对应的双曲型空间［3-6］。本文将借助于Carleson测度来研究双曲QK空间及其上面的复合算子。下面我们给出一些本文需要的定义和记号。

其对应的双曲QK空间定义如下：

近年来，QK空间受到了广大学者的关注，有大量的研究出现［8-11］。

本文中我们用C表示正的常数，用A≈B表示存在正的常数C使得A≤B≤C A，我们也总假设权函数K满足下列条件：

（1）K为非减函数；

（2）K在（0，1）上二阶可微；

（4）K（t）＝K（1）＞0（t≥ 1）；

（5）K（2t）≈ K（t）（t≥ 0）；

对单位圆周上的圆弧 I⊂ ∂D，记集合 S（I）＝｛rζ∈ D：1-｜I｜＜r＜1，ζ∈ I｝，这里I表示I的弧长，如果｜I｜≥1，我们就假设S（I）＝D。我们称一个正的Borel测度μ为有界的K-Carleson测度，如果

我们首先得到下列双曲QK空间的Carleson测度刻画：

定理1 设f∈B（D），则下列三个式子等价：

（3）f*（z）d A（z）是单位圆盘上的 K-Carleson测度。

我们也考虑双曲QK空间上的复合算子的有界性。设ø是单位圆到自身的解析函数，在解析函数空间H（D）上，我们可以定义复合算子Cø（f）＝f◦ø，f∈H（D）。在不同的函数空间上研究复合算子的有界性和紧性是一个重要而有趣的问题，这种算子的研究非常依赖于函数空间的性质以及解析函数ø的几何和分析性质。对于Bloch型空间到QK空间的复合算子有了很多很有意义的研究，见文献［12-18］。在文献［17］中，作者研究了双曲α-Bloch空间到双曲QK空间的复合算子。本文我们将用Carleson测度来刻画双曲对数型Bloch空间到双曲QK空间的复合算子的有界性，一个有趣的结果是我们得到双曲型QK空间的复合算子的有界性与经典QK空间的复合算子有界性的一个等价刻画。我们首先给出对数型Bloch空间的定义［4-5］。设0＜α＜∞，对数型α-Bloch空间定义如下：

小对数型α-Bloch空间定义如下：

相应的双曲对数型α-Bloch空间定义如下：

小双曲对数型α-Bloch空间定义如下：

我们得到下述定理：

定理2 设ø是单位圆到自身的解析函数且0＜α＜1，则下列三个式子等价：

推论1 设ø是单位圆到自身的解析函数且且0＜α＜1，则下列三个式子等价：

（1）Cø：→有界；

（2）Cø：→有界；

（3）Cø：Bα，log→ QK有界。

我们将在第二节证明定理1，在第三节证明定理2以及推论3的证明。

2 定理1的证明

为了证明定理1，我们需要下述引理。

引理1［19］设μ是单位圆上的一个正的Borel测度，则μ是一个有界的K-Carleson测度当且仅当

下面我们开始定理1的证明。

证明（1）⇒（2），设 w＝øa（z），因为 2g（z，a）≥ 1-｜øa（z）｜2，我们由权函数 K的性质（5），得到

因此（2）式成立。

（2）⇒（3），取 dμ＝f*（z）d A（z），由引理 4，我们得到证明。

（3）⇒（1），假设（3）成立，我们有

因为 f*（z）d A（z）是单位圆盘上的 K-Carleson测度，我们得到

于是我们推出

我们令 K（（1-｜z｜）／22n｜I｜）＝t，且 2-n＝s，于是

所以

这样就证明了f∈Q*K，定理证毕。

3 定理2的证明

为了证明定理2，我们需要下述引理。

引理2［12］设0＜α＜∞，存在两个函数 f1，f2∈ Bα，log以及正的常数 C＞0使得

定理2的证明：（1）⇒（2）是显然的，下面我们证明（2）⇒（3）。由假设，我们有0＜α＜1，由引理2，存在两个解析函数f1和f2，使得

所以，我们推出

令 0＜t＜1，那么 hi，t（z）＝hi（tz）∈ B*α，log，0，i＝1，2。所以由定理条件（2），我们得到

接下来我们证明 （3）⇒（1），由闭图像定理，我们仅须证明f◦φ∈ Q*K，f∈B*α，log。事实上，

由定理1以及引理1，我们推出（1）式成立。

推论2的证明：在文献［18］，作者证明了 Cø：Bα，log→ QK有界当且仅当是一个K-Carleson测度，由定理2，可推出推论2成立。