齐次线性递归数列通项的矩阵解法

江苏联合职业技术学院无锡旅游商贸分院 许震宇

如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的递归公式，用递归公式表示的数列叫作递归数列。求递归数列的通项公式，是数学竞赛中的常见题型，常用方法多基于递归特征方程的特征根。

以最著名的递归数列为例，斐波那契(Fibonacci)数列的递归公式是a1=1，a2=1，an+2=an+1+an。首先从2阶递归公式an+2=an+1+an导出2次特征方程λ2=λ+1，解得特征根其 次， 设 数 列 通 项 为an=x1λ1n+x2λ2n， 联 立 方 程 a1=x1λ1+x2λ2=1 和，解得。最终斐波那契数列的通项公式是

一方面，由递归公式到特征方程，再由特征根到通项公式，解法生硬，不易掌握；另一方面，递归数列的特征方程如果出现重根，求通项公式需要特殊处理，结论受限，不利推广。以下给出齐次线性递归数列通项的矩阵解法，并用行列式表示递归数列的通项公式。

一、k阶齐次线性递归数列

定义1 若数列{an}的前k项a1，a2，…，ak已知，自第k+1项起每一项都是其前k项的线性组合，即an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan(其中n∈N+，c1，c2，…，ck是常数)，则称{an}为k阶齐次线性递归数列。显然，ck≠0，否则退化为（k-1）阶齐次线性递归数列。

二、几个结论

命 题1.1 2阶 齐 次 线 性 递 归 数 列{an}： 已 知a1，a2，an+2=c1an+1+c2an。若{an}的特征方程λ2-c1λ-c2=0有2个不相等的特征根λ1和λ2，则{an}的通项满足

证明 2阶齐次线性递归数列{an}的递归矩阵A有2个不相等的特征根λ1和λ2。由矩阵论，A必相似于对角矩阵即存在可逆方阵P，使得P-1AP=Λ，或A=PΛP-1，使得 An-1=PΛn-1P-1，从而

上式中，分量an可由λ1n-1和 λ2n-1线性表出，可设an=x1λ1n-1+，则有所以递归数列{an}的通项满足式①。

命题1.2 2阶齐次线性递归数列{an}：已知a1，a2，an+2=c1an+1+c2an。若{an}的特征方程λ2-c1λ-c2=0有2个相等的特征根λ1，则{an}的通项满足

证明 2阶齐次线性递归数列{an}的递归矩阵A有2个相等的特征根λ1。由矩阵论，A必相似于若当(Jordan)矩阵即存在可逆方阵P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1， 使 得 An-1=PJn-1P-1， 从 而

上式中，分量a可由λn-1和 (n-1)λn-2线性表出，可设a=xλn-1n11n11+x2(n-1)λ1n-2，则有。所以递归数列{an}的通项满足式②。

命 题 2.1 3阶 齐 次 线 性 递 归 数 列 {an}： 已 知 a1，a2，a3，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 3 个单根 λ1，λ2和 λ3，则 {an}的通项满足

证明 3阶齐次线性递归数列{an}的递归矩阵A有3个互不相等的特征根λ1，λ2和λ3。由矩阵论，A必相似于对角矩阵。即存在可逆方阵P，使得P-1AP=Λ，或A=PΛP-1， 使得 An-1=PΛn-1P-1，从而

上式中，分量an可由λ1n-1，λ2n-1和 λ3n-1线性表出，可设an=，则有。所以递归数列{an}的通项满足式③。

命 题 2.2 3阶 齐 次 线 性 递 归 数 列 {an}：a1，a2，a3已 知，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 1 个 2重根λ1和1个单根λ2，则{an}的通项满足=0④。

证明 3阶齐次线性递归数列{an}的递归矩阵A有1个2重根λ1和1个单根λ2。由矩阵论，A必相似于若当矩阵。即存在可逆方阵P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1， 使 得 An-1=PJn-1P-1， 从 而

上式中，分量 an可由 λ1n-1，(n-1)λ1n-2和 λ2n-1线性表出，可设，则有。所以递归数列{an}的通项满足式④。

命 题 2.3 3阶 齐 次 线 性 递 归 数 列 {an}：a1，a2，a3已 知，an+3=c1an+2+c2an+1+c3an。若 {an}的特征方程 λ3-c1λ2-c2λ-c3=0 有 1 个3重根λ1，则{an}的通项满足=0⑤。

证明 3阶齐次线性递归数列{an}的递归矩阵A有1个3重根λ1。由矩阵论，A必相似于若当矩阵即存在可逆方阵P，使得P-1AP=J，或A=PJP-1，使得An-1=PJn-1P-1，从而

上式中，分量an可由λ1n-1，(n-1)λ1n-2和(n-1)(n-2)λ1n-3/2线性表出，可设 an=x1λ1n-1+x2(n-1)λ1n-2+x3(n-1)(n-2)λ1n-3/2，则有。所以递归数列{an}的通项满足式⑤。

推论1 1阶齐次线性递归数列{an}：a1已知，an+1=c1an，则{an}的通项满足，即an=a1c1n-1。

推论2 k阶齐次线性递归数列{an}：a1，a2，…，ak已知，an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan。首先构造（k+1）维列向量a2，a3，…，ar，…，ak，an）’。其次对于单重特征根λi，构造1个（k+1）维列向量； 对于 r 重特征根λj，构造r个k+1维列向量’。最终构造（k+1）阶行列式，即为{an}通项的行列式表示。

三、应用举例

例1 设递归数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=2an+1-2an，求{an}的通项公式。

解：数列{an}的递归矩阵，特征方程 λ2-2λ+2=0，解得特征根λ1=1+i，λ2=1-i。根据命题1.1，数列{an}的通项满足式①：。展开行列式，得数列{an}的通项公式是an=(1/2i)×[(2+i)(1+i)n-1+(-2+i)(1-i)n-1]。

例2 设递归数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=6an+1-9an，求{an}的通项公式。

解：数列{an}的递归矩阵特征方程 λ2-6λ+9=0，解得2重特征根λ1=3。根据命题1.2，数列{an}的通项满足式②：。展开行列式，得数列{an}的通项公式是an=(4-n)×3n-2。

例3 设递归数列{an}满足a1=a2=a3=1，an+3=6an+2-12an+1+8an，求{an}的通项公式。

解：数列{an}递归矩阵，特征方程 λ3-6λ2+12λ-8=0，解得3重根λ1=2。由命题2.3，{an}通项满足式⑤：。展开行列式，得数列{an}的通项公式是an=(n2-7n+14)×2n-4。