基于数学核心素养“读懂、厘清、解巧”的能力培养
——从2019年全国卷Ⅰ第21题谈起

广东华侨中学 朱国璋

广东华侨中学 郑 旭

新修订的高中数学课程标准指出：在教学实践中，启发学生学会数学思考，引导学生会学数学，会用数学，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程.数学解题既是教师数学教学的重要组成部分，也是评价学生学科核心素养的重要标准之一.因此，教师在数学解题教学中，特别注重培养和发展学生推理、建模、分析、运算等核心素养，避免机械记忆，生搬硬套.

我们知道，新高考对学生核心素养的考查将更加突出数学学科特色，着重考查学生的综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力.为此，笔者认为数学解题教学要紧紧抓住“读懂、厘清、解巧”三个关键点.

读懂，是指挖掘题目信息，了解题目考点，结合已有认知，抽象数学模型，为准确理解题意做准备；厘清，是指运用综合法和分析法，转化与化归题目信息，紧抓数学概念和性质，构建解题思路与算法，为巧解题目做准备；解巧，是指进行充分推演计算，完善解题步骤格式，最后总结反思，内化数学素养，为以后举一反三做准备.

下面，试以2019年高考全国卷Ⅰ文科数学的圆锥曲线题为例，加以说明.

例（2019年全国卷Ⅰ第21题）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切.

（1）若点A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当点A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由.

解法一：已知题目中M，A都是动点，若要求出定点P的坐标，可用设而不求法先表示|MA|-|MP|，又|MA|、|MP|跟点M有关，因此可根据垂径定理寻找点M的性质，代入设而不求法表示的式子，化简得到答案.

（1）⊙M的半径r=2或r=6.过程略.

（2）依题意，设A（x1，y1），B（-x1，-y1），P（x0，y0），圆心M在直线OM：xx1+yy1=0上，若y1≠0，设圆心M则有即

此时|MA|-|MP|=|xM+2|-

取x0=1，y0=0，此时|MA|-|MP|=1是定值.

若y1=0，易得M（0，0），有|MA|-|MP|=2-1=1，满足题意，

所以存在定点P（1，0），使得|MA|-|MP|为定值1.

反思：该题作为全国卷Ⅰ文科数学最后一道压轴题，具有一定的思维量和计算量.在解题中，通常做法是将|MA|处理成动点M到定直线x=-2的距离，将|MP|处理成动点M到定点P的距离，在读懂题意的基础上翻译成数学语言，进行转化，然后直接作差完成解答.但如果继续分析解剖，学生还可以发现题目中的隐藏信息.由分析法知，题目要求探究|MA|-|MP|，就是探究动点M到定直线的距离与其到定点距离的关系.由圆锥曲线的定义，说明动点M的轨迹应该是抛物线，所求定点P为该抛物线的焦点，只要厘清条件隐含考查抛物线的定义和性质，就可以写出第二种解法.

解法二：设M（x，y），由已知得⊙M的半径为r=|x+2|，|AO|=2.

所以曲线C：y2=4x是以P（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，即|MP|=x+1.

所以|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1.

所以存在满足条件的定点P，即为抛物线y2=4x的焦点（1，0）.

反思：学生如果读懂|MA|-|MP|和抛物线的定义有联系，就可以利用抛物线的性质完成解巧.不仅如此，如果学生读题时能意识到该题考查的是存在性问题，厘清可以先假设结论成立，并将结论当成新条件进行解题，则可以探究出第三种解法.

解法三：由解法二可得，点M的轨迹方程为y2=4x，设M又设存在定点P（xp，yp），使得当点A运动时，|MA|-|MP|=c为定值，

代入原式化简得4c-4=0，所以c=1，即存在定点P（1，0），使得当点A运动时，|MA|-|MP|为定值1.

反思：相信在上面三个解法的“读懂、厘清、解巧”过程中，学生的数学核心素养能有所提高.但学生的能力培养应不仅限于此，教师可适当进行变式训练进一步引导学生思考，例如将题目条件变成|MA|+|MP|呢？将条件改变后，又该怎样解题？

变式探究：已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切.

（1）若点A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当点A运动时，|MA|+|MP|为定值？并说明理由.

分析：读题时发现，条件|MA|+|MP|不再暗示与抛物线定义有关，无法用抛物线性质解题，而且尝试直接表示|MA|+|MP|后，也很难通过观察配凑找出定点P和定值，所以思考当成探究性问题来处理，利用多项式性质完成解题.

解：（1）略.

（2）依题得，点M的轨迹方程为y2=4x.

代入原式化简得c2-2c+2=0，因为Δ＜0，所以c不存在，即不存在定点P，使得当点A运动时，|MA|+|MP|为定值.

反思：通过变式探究，进一步巩固学生的数学核心素养.在解巧高考题和变式研究后，教师可引导学生回顾题目信息，回想思路形成，回味思想方法，在一题多解的基础上举一反三.

其实，不仅仅是圆锥曲线问题，在数学所有知识模块的解题中都需要学生“读懂、厘清、解巧”.读懂，就是数学的转化输入；厘清，就是数学的整合加工；解巧，就是数学的输出应用.三个环节层层递进，是正确解题的三板斧.新课改下教师在解题教学中可以引导学生进行针对性地练习，对应这三个环节有的放矢，查缺补漏，逐步提高学生解题的正确率.而学生只有读得懂题意，理得清思路，才能解得巧过程，并在解题过程中逐渐巩固和提高数学核心素养，适应新高考的要求.F